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河南省驻马店市杨埠完全中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列{an}满足则它的前10项的和S10等于
( )
A. 95 B.135 C. 138 D. 140
参考答案:
A
略
2. 抛物线的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线(不含端点)
参考答案:
D
3. 用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理( )
A.大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 是正确的
参考答案:
B
略
4. 下列函数中,与函数的单调性和奇偶性一致的函数是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
函数即是奇函数也是R上的增函数,对照各选项: 为非奇非偶函数,排除A ;为奇函数,但不是R上的增函数,排除B ;为奇函数,但不是R上的增函数,排除C ;为奇函数,且是R上的增函数,故选D.
5. 函数的最大值为( )
A B C D
参考答案:
A
略
6. 设集合A=,B=,函数f(x)=x0∈A,且f[f(x0)]∈A,则x0的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 设为等比数列的前项和,,则公比( )
A. B. C.1或 D.-1或
参考答案:
C
试题分析:由题意得,设等比数列的公比为,由,即,所以,解得或,故选C.
考点:等比数列的通项公式的应用.
8. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 抛物线x2=4y的焦点坐标为( )
A.(1,0) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(0,﹣1)
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先根据标准方程求出p值,判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而写出焦点坐标.
【解答】解:∵抛物线x2 =4y 中,p=2, =1,焦点在y轴上,开口向上,∴焦点坐标为 (0,1 ),
故选 C.
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用,抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为(0,),属基础题.
10. 把89化为五进制数,则此数为 ( )
A. 322(5) B. 323(5) C. 324(5) D. 325(5)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图在△ABC中,AB=3,BC=,AC=2,若O为△ABC的外心,则= , = .
参考答案:
2,.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】设外接圆半径为R,则═,故可求;根据,将向量的数量积转化为: =,故可求.
【解答】解:设外接圆半径为R,则═==2
同理═=
所以=
故答案为:2,﹣.
12. (几何证明选讲选做题)在梯形中,,,,点、分别在、上,且,若,则的长为 .
参考答案:
略
13. 已知圆锥的表面积为6,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径为_____.
参考答案:
14. 已知随机变量ξ的概率分布规律为,其中a是常数,则的值为 .
参考答案:
【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.
【分析】利用所有概率的和为1,求出a的值,利用=P(ξ=1)+P(ξ=2),可得结论.
【解答】解:由题意,由所有概率的和为1可得,∴a=
=P(ξ=1)+P(ξ=2)===
故答案为:
15. 判断命题的真假:命题“”是 命题(填“真”或“假”).
参考答案:
真
略
16. 如图,球O的半径为2,圆O1是一小圆,O1O=,A,B是
圆O1上两点.若∠AO1B=,则A、B两点间的球面距离为________.
参考答案:
略
17. 5名同学排成一排照相,其中同学甲站在中间,则不同的排法种数为________(用数字作答).
参考答案:
24
【分析】
根据题意,不用管甲,其余4人全排列即可,根据排列数的定义可得出结果.
【详解】根据题意,甲在中间位置固定了,不用管,其它4名同学全排列即可,所以排法种数共有种.
故答案为:24.
【点睛】本题是排列问题,有限制条件的要先安排,最后安排没有条件要求的即可,属于一般基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知:函数。
(I)若曲线在点(,0)处的切线为x轴,求a的值;
(II)求函数在[0,l]上的最大值和最小值。
参考答案:
(I)(II)见解析
【分析】
(I)根据函数对应的曲线在点处切线为轴,根据切点在曲线上以及在处的导数为列方程,解方程求得和的值.(II)先求得函数的导数,对分成四种情况,利用函数的单调性,求得函数的最大值和最小值.
【详解】解:(I)由于x轴为的切线,则, ①
又=0,即3=0, ②
②代入①,解得=,所以=。
(II)=,
①当≤0时,≥0,在[0,1]单调递增,
所以x=0时,取得最小值。
x=1时,取得最大值。
②当≥3时,<0,在[0,1]单调递减,
所以,x=1时,取得最小值
x=0时,取得最大值。
③当0<<3时,令=0,解得x=,
当x变化时,与的变化情况如下表:
x
(0,)
(,1)
-
0
+
↘
极小值
↗
由上表可知,当时,取得最小值;
由于,,
当0<<1时,在x=l处取得最大值,
当1≤<3时,在x=0处取得最大值。
【点睛】本小题主要考查函数导数与切线,考查函数导数与值域,考查利用导数求函数的单调区间,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.
19. 已知函数f(x)=﹣x2+5x﹣6,求:
(1)y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标x的集合;
(2)y=f(x)的图象在x轴上方时横坐标x的集合;
(3)y=f(x)的图象恒在直线y=a+1下方时横坐标x的集合.
参考答案:
考点: 二次函数的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: (1)解方程﹣x2+5x+6=0即可;
(2)解﹣x2+5x+6>0即可;
(3)由f(x)=﹣x2+5x﹣6≤﹣(x﹣)2﹣6+=﹣(x﹣)2+,从而求a.
解答: 解:(1)由﹣x2+5x+6=0解得,
x=6或x=﹣1;
故y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标x的集合为{6,﹣1};
(2)由﹣x2+5x+6>0解得,
﹣1<x<6;
故y=f(x)的图象在x轴上方时横坐标x的集合为{x|﹣1<x<6};
(3)∵f(x)=﹣x2+5x﹣6≤﹣(x﹣)2﹣6+
=﹣(x﹣)2+;
∴a+1>,
故a>﹣.
点评: 本题考查了二次函数的性质应用,属于基础题.
20. 已知命题,.
()分别写出真、真时不等式的解集.
()若是的充分不必要条件,求的取值范围.
参考答案:
();().
()真时:
.
真时:
或.
()由题知,为真时,或,
∴,
解出.
21. 过椭圆内一点M(1,1)的弦AB.
(1)若点M恰为弦AB的中点,求直线AB的方程;
(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程;轨迹方程.
【专题】转化思想.
【分析】本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法,(1)由于弦AB过点M(1,1),故我们可设出直线AB的点斜式方程,联立直线与圆的方程后,根据韦达定理(根与系数的关系),我们结合点M恰为弦AB的中点,可得到一个关于斜率k的方程,解方程求出k值后,代入整理即可得到直线AB的方程.(2)设AB弦的中点为P,则由A,B,M,P四点共线,易得他们确定直线的斜率相等,由此可构造一个关于x,y的关系式,整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程.
【解答】解:(1)设直线AB的斜率为k,则AB的方程可设为y﹣1=k(x﹣1).
得x2+4(kx+1﹣k)2=16
得(1+4k2)x2+8k(1﹣k)x+4(1﹣k2)﹣16=0
,
.
.
∴.
(2)设弦AB的中点为P(x,y)
∵A,B,M,P四点共线,
∴kAB=kMP
∴.
【点评】在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件,用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线,故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
22. 为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人):
科研单位
相关人数
抽取人数
A
16
B
12
3
C
8
(1)确定与的值;
(2)若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自科研单位A的概率.
参考答案:
略
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