广东省肇庆市高要第二中学高三数学文期末试题含解析

广东省肇庆市高要第二中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f（x）满足（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为       （     ）                                              A．95        B．97            C．105           D．192 参考答案： B 2. 已知，，则的值是 A．0                B．                     C．1                    D． 参考答案： A 3. 为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（    ） A．相离     B．相交    C．相切     D．相切或相离 参考答案： A  解．点M在圆内故，圆心到直线的距离．故直线与圆相离．选A． 4. 已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的    A．若，则   B．若，则    C．若，则 D．若，则 参考答案： 【知识点】数列   D3 C   解析：设，因为所以A,B不成立，对于C,当时，，因为同号，所以，所以C正确，对于D,取-1，1，-1，1 ，不满足条件，D错，故选C. 【思路点拨】根据等比数列的定义可判定正确选项. 5. 已知椭圆：的图像上一点P到一焦点的距离是3，则到另一焦点的距离是（    ） （A）4             （B）5             （C）6            （D）8 参考答案： B 6. 已知变量满足约束条件,则目标函数的最大值为(    ) A．32 B．4 C．8 D．2 参考答案： A 略 7. （5分） 已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　） 　 A． 10 B． 20 C． 30 D． 40 参考答案： B 【考点】： 直线与圆相交的性质． 【专题】： 压轴题． 【分析】： 根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可． 解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52， 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10， 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD， 四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=×10×4=20． 故选B 【点评】： 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半． 8. 已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2 直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0） 如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B为AP的中点、连接OB， 则， ∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1， 故点B的坐标为， 故选D 9. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列{}的前10项和=（　　） A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】等差数列的性质． 【分析】利用直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，可得a1=2，d=2，利用等差数列的求和公式求出Sn，再用裂项法即可得到结论． 【解答】解：∵直线y=a1x+m与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称， ∴a1=2，2﹣d=0 ∴d=2 ∴Sn==n2+n ∴=， ∴数列{}的前10项和为1﹣+﹣+…+= 故选：B． 10. 设全集是实数集R，M = {x| －2≤x≤2}，N = {x| x＜1，则M∩N等于（    ） A．{x| 1＜x＜2                   B．{x|－2＜x＜1 C．{x| 1＜x≤2                   D．{x|－2≤x＜1 参考答案： 答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数，若函数在区间（0， 1）上单调递增，且方程的根都在区间内，则b的取值范围是         ． 参考答案： 12. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为          ． 参考答案： 设圆锥的底面圆半径为，有圆锥的高为，从而圆锥的体积为，令，有 ，令，当时函数 为增函数，当时函数为减函数，从而当时体积取最大值.   13. 设函数，则的值为        . 参考答案： 10 略 14. 在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下列结论正确的为        （写出所有正确的编号） ①； ②；③；④“整数属于同一类”的充要条件是“”；⑤命题“整数满足，则”的原命题与逆命题都为真命题。 参考答案： ①③④ 略 15. 设集合，，，则实数的值为_______. 参考答案： 1 16. 已知满足约束条件则的最大值为　　． 参考答案： 作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得。 17. 已知． ①当a=1时，f（x）=3，则x=　   　； ②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=　  　． 参考答案： 4，   【考点】分段函数的应用． 【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值； ②由f（x）=3，求得x=﹣1，或 x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值． 【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4； ②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或 x=4． ∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1． ∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6， 再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1． 故答案为4，． 【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1或x>16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围． (1)A∩B＝?； (2)A?(A∩B)． 参考答案： 解：(1)若A＝?，则A∩B＝?成立．此时2a＋1>3a－5， 即a<6. 若A≠?，如图所示， 则 解得6≤a≤7.综上，满足条件A∩B＝?的实数a的取值范围是{a|a≤7}． (2)因为A?(A∩B)，所以A∩B＝A， 即A?B. 显然A＝?满足条件，此时a<6. 若A≠?，如图所示， 则 或 由 解得a∈?； 由 解得a>. 综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a<6或a>}． 19. 已知是正实数,设函数. (1)设,求的单调递减区间; (2)若存在使成立,求的取值范围. 参考答案： 解：(1)  由得,, 的单调递减区间为, (2)由得    (i)当,即时, 由得,   (ii)当时,  单调递增.      (iii)当,即时,  单调递减.  当时恒成立. 综上所述,   略 20. 已知 （1）当，求函数的最大值及取得最大值时的； （2）若分别是锐角的内角的对边，且，，试求的面积． 参考答案： 略 21. （本小题满分13分）   已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an（n≥1）． （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列{ 2nan}的前n项和为Tn，An= +++…+．试比较An与的大小． 参考答案： 【知识点】等比数列 数列求和 D3  D4 （1）略；（2）.   （1）由， 由 于是 整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列. （2）由（1）得 于是 又，问题转化为比较与的大小，即与的大小 设 当时，， ∴当时f（n）单调递增， ∴当时，，而， ∴当时， 经检验n=1，2，3时，仍有 因此，对任意正整数n，都有即 【思路点拨】(1)由整理可得即证得是首项及公比均为的等比数列；（2）由（1）可得 ，进而得到， ，转化为比较与的大小，令比较两个数列的最值得大小. 22. 已知直线的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。 （1）求直线的倾斜角； （2）若直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|。 参考答案： （1）直线参数方程可以化为， 根据直线参数方程的意义，这是经过点（0，），倾斜角为600的直线。 因此直线的倾斜角为600。 （2）直线的直角坐标方程为， 因为的直角坐标方程为， 所以圆心到直线l的距离，因此。