安徽省宣城市第十二中学高二数学理联考试题含解析

安徽省宣城市第十二中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 参考答案： B 试题分析：每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选A. 考点：频率分布直方图   2. 下列四个命题中： ①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题； ②“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若ab≠0，则a≠0”的否命题． 其中真命题的序号是（　　） A．②、③ B．③、④ C．①、④ D．①、② 参考答案： D 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，逆命题：三个内角均为60°的三角形是等边三角形； ②，原命题为真，其逆否命题与原命题同真假； ③，“全等三角形的面积相等”的否命题：不全等三角形的不面积相等； ④，“若ab=0，则a=0或b=0”． 【解答】解：对于①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题：三个内角均为60°的三角形是等边三角形，故为真命题； 对于②，“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0的△=4+4k＞0，有实根”，∴原命题为真，其逆否命题与原命题同真假，故为真命题； 对于③，“全等三角形的面积相等”的否命题：不全等三角形的不面积相等，故为假命题； 对于④，“若ab≠0，则a≠0”的否命题：“若ab=0，则a=0”，故为假命题． 故选：D 【点评】本题考查了命题的四种形式的转换，及真假判定，属于基础题． 3. 曲线上的 点到直线的最短距离是       （        ） A.       B.       C.      D.0 参考答案： A 略 4. 如图，一艘船上午10：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距9n mile,则此船的航速是（   ） A．16 n mile/h        B．18 n mile/h  C．32 n mile/h          D．36 n mile/h 参考答案： D 5. 不等式组表示的平面区域的面积为  A．2         B．3         C．4          D．5 参考答案： C 6. 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得每天的织布数量构成公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得首项，进而由通项公式可得． 【解答】解：设该女第n天织布为an尺，且数列为公比q=2的等比数列， 则由题意可得=5，解得a1=， 故该女子第4天所织布的尺数为a4=a1q3=， 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题． 7. 已知，则=   A．-4    B．-2    C．0    D．2 参考答案： A 8. 在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（    ） A．       B．          C．    D． 参考答案： A 9. 设，曲线在点处切线的斜率为2,则 (  ) A.              B.               C.             D. 参考答案： B 10. 不论取何值，方程所表示的曲线一定不是（    ）      A  抛物线       B 双曲线      C 圆      D  直线 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知O为坐标原点，圆C的方程为，点A(2，0)，点B在圆C上运动，若动点D满足，则点D的轨迹方程是▲  ；的取值范围是▲． 参考答案： 略 12. 已知动直线l的方程：cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R），给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线； ⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是　   　． 参考答案： ②③ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R）； ②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行； ③，cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1?，所有使的点（x，y）都不在其上； 对于④，⑤由③可判定． 【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错； 对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确； 对于③，cosα?（x﹣2）+sinα?（y+1）=1?，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确； 对于④，⑤由③可得错． 故答案为：②③ 【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题． 　 13. 曲线与直线及x轴围成的图形的面积为          ． 参考答案： 由曲线与直线及轴围成的图形的面积为   14. 将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积的增加值为                  。 参考答案： 12a2 15. 已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数的取值范围．   参考答案：   略 16. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=      . 参考答案： 7 17. 学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2014年江苏省运动会田径、游泳和球类3个不同比赛项目的志愿者．已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有　_________　种．（结果用数字表示） 参考答案： 7 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，（其中）． （1）求及； （2）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程． 参考答案： (1)；；(2)答案见解析. 试题分析：（1）采用赋值法，令，右边==左边=，也采用赋值法，令；（2）根据（1）得到，等于比较与的大小，首先赋几个特殊值，采用不完全归纳法，得到答案，然后再用数学归纳法证明. 试题解析：（1）取，则； 2分 取，，4分 （2）要比较与的大小，即比较与的大小. 当时，； 当时，； 当时，； 6分 猜想：当时，，下面用数学归纳法证明： 7分 由上述过程可知，时结论成立； 假设当时结论成立，即 两边同乘以3得： 时，，， ，即时结论也成立. 当时，成立. 11分 综上所述，当或时，； 当时，. 12分 考点：1.二项式定理中的赋值法；2.数学归纳法；3.不完全归纳法. 19. （本题满分14分） 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点。 （1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。 （2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由。 参考答案： （1）联立方程，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0. 设A(),B(),那么：。 由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即。 所以：，得到：，解得a= (2)假定存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。 那么：，两式相减得：，从而 因为A(),B()关于直线对称，所以 代入（*）式得到：-2=6，矛盾。 也就是说：不存在这样的a，使A(),B()关于直线对称。 20. 已知双曲线与圆相切，过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切． （1）求双曲线的方程；       （2）是圆上在第一象限内的点，过且与圆相切的直线与的右支交于、两点，的面积为，求直线的方程． 参考答案： （1）∵双曲线与圆相切，∴ ，         ………………2分 由过的左焦点且斜率为的直线也与圆相切，得，进而 故双曲线的方程为      ………………………………4分 （2）设直线：，，， 圆心到直线的距离，由得………6分 又的面积，∴ …………10分 由，      得，，此时式 ∴直线的方程为.    …………………12分                   略 21. 数列{an}满足，，． （1）设，证明{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式． 参考答案： （1）证明见解析；（2）. 试题分析：（1）由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即可证得； （2）由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1，进而利用累加求通项公式即可. 试题解析： （1）证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列． （2）解　由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1. 于是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1. 又a1＝1，所以an＝n2－2n＋2,经检验，此式对n=1亦成立， 所以，{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2. 点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将利用待定系数法构造成的形式，再根据等比数例求出的通项，进而得出的通项公式. 22. （本小题满分12分）如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥面ABCD, PD=DC,E是PC的中点． （1）证明：PA∥平面BDE； （2）证明：平面BDE⊥平面PBC. 参考答案： 解:（1）证明：连结交于点，连结 为的中点   又为中点为的中位线……4     又面………………6 （2） ，面           ………………………8 ，又，为中点         面，又面………………………10 面面                      ……