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广东省梅州市陂西中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在区间上的图像如图所示,则的值
可能是
A.
B.
C.
D.
参考答案:
B
略
2. 已知集合,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
参考答案:
C 根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体,如图所示,且平面,平面,底面为正方形,则有,所以和到平面的距离相等,且为,故,
,则该几何体的体积为.
4. 等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}前9项的和S9等于( )
A.99 B.66 C.144 D.297
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的性质可得a4=13,a6=9,可得a4+a6=22,再由等差数列的求和公式和性质可得S9=,代值计算可得.
【解答】解:由等差数列的性质可得a1+a7=2a4,a3+a9=2a6,
又∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,
∴a1+a4+a7=3a4=39,a3+a6+a9=3a6=27,
∴a4=13,a6=9,∴a4+a6=22,
∴数列{an}前9项的和S9====99
故选:A
5. 安排A,B,C,D,E,F6名义工照顾甲,乙,丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有( )
A. 30种 B. 40种 C. 42种 D. 48种
参考答案:
C
【分析】
利用间接法求解,首先计算出所有的安排方法,减掉照顾老人甲的情况和照顾老人乙的情况,再加回来多减一次的照顾老人甲的同时照顾老人乙的情况,从而得到结果.
【详解】名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有:种安排方法
其中照顾老人甲的情况有:种
照顾老人乙的情况有:种
照顾老人甲,同时照顾老人乙的情况有:种
符合题意的安排方法有:种
本题正确选项:C
【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题,对于限制条件较多的问题,通常采用间接法来进行求解.
6. 已知MOD函数是一个求余函数,其格式为MOD(n,m),其结果为n除以m的余数,例如MOD(8,3)=2.下面是一个算法的程序框图,当输入的值为36时,则输出的结果为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
D
【考点】EF:程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,根据题意,依次计算MOD(n,i)的值,由题意∈N*,可得i=2,3,4,6,9,12,18,共要循环7次,从而得解.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得:
n=36,i=2,MOD(36,2)=0,j=1,i=3
满足条件i<n,MOD(36,3)=0,j=2,i=4
满足条件i<n,MOD(36,4)=0,j=3,i=5
满足条件i<n,MOD(36,5)=1,i=6
…
∵∈N*,可得i=2,3,4,6,9,12,18,
∴共要循环7次,故j=7.
故选:D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的MOD(n,i)的值是解题的关键,属于基础题.
7. 以Sn表示等差数列{an}的前n项和,若a2+a7﹣a5=6,则S7=( )
A.42 B.28 C.21 D.14
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由题意和通项公式易得a4=6,又可得S7=7a4,代值计算可得.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,
∵a2+a7﹣a5=6,∴(a1+d)+(a1+6d)﹣(a1+4d)=6,
∴a1+3d=6,即a4=6,
∴S7=(a1+a7)=×2a4=7a4=42
故选:A
8. 已知复数,是的共轭复数,则等于
A.16 B.4 C.1 D.
参考答案:
C
9. 若如图2所示的程序框图输出的S是30,则在判断框中M表示的“条件”应该是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
试题分析:首先执行程序到,
则应该填,故选B.
考点:程序框图
10. (07年全国卷Ⅱ文)不等式的解集是( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:C
解析:不等式的解集是,选C。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=的反函数是f﹣1(x),则f﹣1()= .
参考答案:
﹣1
【考点】反函数.
【分析】由题意,x≤0,2x=,求出x,即可得出结论.
【解答】解:由题意,x≤0,2x=,∴x=﹣1,
∴f﹣1()=﹣1.
故答案为﹣1.
12. 已知圆O上三个不同点A,B,C,若,则∠ACB= .
参考答案:
【考点】向量在几何中的应用.
【专题】计算题;平面向量及应用.
【分析】由题意,向量式右边两个系数之和为1,所以A、B、O三点共线,即可得出结论.
【解答】解:由题意,向量式右边两个系数之和为1,所以A、B、O三点共线,
所以∠ACB=,
故答案为:.
【点评】本题考查向量共线定理的运用,考查学生的计算能力,确定A、B、O三点共线是关键.
13. 从所有棱长均为的正四棱锥的个顶点中任取个点,设随机变量表示这三个点所
构成的三角形的面积,则其数学期望_________.
参考答案:
【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.
【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体;
数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.
【试题分析】如图,在棱长均为2的正四棱锥中,因为,所以,,所以,,
,,从正四棱锥的5个顶点中任取个点,可以构成的三角形的个数为,其中顶点在侧面的三角形的有4个,在对角面的有2个,在底面的有4个,故.
图 cna1
14. 已知集合,,则___________.
参考答案:
略
15. 设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 .
参考答案:
【考点】7F:基本不等式.
【分析】设t=2x+y,将已知等式用t表示,整理成关于x的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于0,求出t的范围,求出2x+y的最大值.
【解答】解:∵4x2+y2+xy=1
∴(2x+y)2﹣3xy=1
令t=2x+y则y=t﹣2x
∴t2﹣3(t﹣2x)x=1
即6x2﹣3tx+t2﹣1=0
∴△=9t2﹣24(t2﹣1)=﹣15t2+24≥0
解得
∴2x+y的最大值是
故答案为
16. 现有红心1,2,3和黑桃4,5共五张牌,从这五张牌中随机取2张牌,则所取2张牌均为红心的概率为 .
参考答案:
17. 等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表中的同一列,则数列的通项公式______________.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)已知点Pn(an,bn)(n∈N*)满足an+1=anbn+1,,且点P1的坐标为(1,﹣1).
(Ⅰ)求经过点P1,P2的直线l的方程;
(Ⅱ) 已知点Pn(an,bn)(n∈N*)在P1,P2两点确定的直线l上,求证:数列是等差数列.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求对于所有n∈N*,能使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥成立的最大实数k的值.
参考答案:
【考点】: 数列与解析几何的综合;数列与不等式的综合.
【专题】: 计算题.
【分析】: (Ⅰ)由,知.由此知过点P1,P2的直线l的方程为2x+y=1.
(Ⅱ)由Pn(an,bn)在直线l上,知2an+bn=1.故bn+1=1﹣2an+1.由an+1=anbn+1,得an+1=an﹣2anan+1.由此知是公差为2的等差数列.
(Ⅲ)由.,知.所以,.依题意恒成立.设,所以只需求满足k≤F(n)的F(n)的最小值.
解:(Ⅰ)因为,所以.所以.(1分)
所以过点P1,P2的直线l的方程为2x+y=1.(2分)
(Ⅱ)因为Pn(an,bn)在直线l上,所以2an+bn=1.所以bn+1=1﹣2an+1.(3分)
由an+1=anbn+1,得an+1=an(1﹣2an+1).即an+1=an﹣2anan+1.
所以.所以是公差为2的等差数列.(5分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)得.
所以.
所以.(7分)
所以.(8分)
依题意恒成立.
设,
所以只需求满足k≤F(n)的F(n)的最小值.(10分)
因为
==,
所以F(n)(x∈N*)为增函数.(12分)
所以.
所以.所以.(14分)
【点评】: 本题考查数列与解析几何的综合运用,难度较大,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地选用公式.
19. 已知函数.
(1) 若,当时,求函数的最小值;
(2) 设,且函数有两个极值点,若,求实数的值.
参考答案:
略
20. 已知函数.
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ) 若在上是单调增函数,求实数a的取值范围.
参考答案:
解析: (Ⅰ) 易知,函数的定义域为. ………………………1分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,. ………………………3分
当x变化时,和的值的变化情况如下表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
-
0
+
递减
极小值
递增
………………………5分
由上表可知,函数的单调递减区间是(0,1)、单调递增区间是(1,+∞)、极小值是. ………………………7分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ) 由,得. ………………………9分
若函数为上的单调增函数,则在上恒成立,即不等式在上恒成立.也即在上恒成立. ………11分
令,则. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,,在上为减函数,
. ………………………………………………13分
所以.
∴的取值范围为. ………………………14分
21. 已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式
(2)若,求函数f(x)的值域.
参考答案:
(1) (2) [﹣1,2].
【分析】
(1)由图象求出函数的振幅A,周期,确定ω,利用图象经过确定φ,得到函数的解析式;
(2)根据,得到,可得函数的值域.
【详解】(1)由图可知A=2,
,由∴f(x)=2sin(2x+),又点在图象上,
∴,∴,∴
∴
(2)∵,∴
∴函数f(x)的值域为[﹣1,2].
【点睛】本题是基础题,考查三角函数的化简求值,函数的解
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