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福建省龙岩市永定县第三中学2022年高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 一个正项等比数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
参考答案:
C
2. 已知函数(且)在上的最大值与最小值之和为,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
解:因为函数(且),
所以函数在时递增,最大值为;
最小值为,
函数在时递减,
最大值为,最小值为;
故最大值和最小值的和为:.
∴,(舍).
故选.
3. (5分)如图,在△ABC中,,P是BN上的一点,若,则实数m的值为()
A. B. C. 1 D. 3
参考答案:
A
考点: 平面向量的基本定理及其意义.
专题: 计算题;证明题;平面向量及应用.
分析: 根据题意,设=λ,将向量表示成向量、的一个线性组合,再结合题中向量的等式,建立关于m、λ的方程组,解之即可得到实数m的值.
解答: ∵,
∴
设=λ,(λ>0)得=+
∴m=且=,解之得λ=8,m=
故选:A
点评: 本题给出三角形的一边的三等分点,求某向量关于已知向量的线性关系式,着重考查了向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识,属于中档题.
4. 已知定义在R上的函数f (x)的图象关于成中心对称,且满足f (x) =, f (0) = –2,则f (1) + f (2) +…+ f (2007)的值为( )
A.–2 B.–1 C.0 D.1
参考答案:
解析: C 由已知f (x) =,又f (x) =,∴,即f (x)为偶函数. 又f (x + 3) == f (x),∴f (x)是以3为周期的函数.
∴f (1) = f (–1) = 1,f (2) = f (–1 + 3) = f (–1) = 1,f (3) = f (0) = –2,
∴f (1) + f (2)+…+f (2007) = 669 [f (1) + f (2) + f (3)] = 0.
5. 已知f(x)=满足对任意x1≠x2都有<0成立,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B. C. D.
参考答案:
C
考点:分段函数的应用;函数恒成立问题.
专题:函数思想;定义法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:由题意可得f(x)在R上为减函数,分别考虑各段的单调性,可得2a﹣1<0,0<a<1,注意x=1处的情况,可得2a﹣1+3a≥a,求交集即可得到所求范围.
解答:解:对任意x1≠x2都有<0成立,
即有f(x)在R上为减函数,
当x<1时,y=(2a﹣1)x+3a,递减,即有
2a﹣1<0,解得a<,①
当x>1时,y=ax递减,即有0<a<1,②
由于x∈R,f(x)递减,即有2a﹣1+3a≥a,
解得a≥,③
由①②③,可得≤a<.
故选C.
点评:本题考查函数的单调性的判断和运用,考查运算能力,注意定义的运用,属于中档题和易错题.
6. 下列选项中与-80°终边相同的角为( )
A. 100° B. 260° C. 280° D. 380°
参考答案:
C
【分析】
根据终边相同的两个角的差是的整数倍这一性质逐一判断即可.
【详解】A:,因为,所以与终边不相同,故不符合题意;
B:因为,所以与终边不相同,故不符合题意;
C:因为,所以与终边相同,故符合题意;
D:因为,所以与终边不相同,故不符合题意.
故选:C
【点睛】本题考查了终边相同角的判断,考查了数学运算能力.
7. 在中,若,则此三角形是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形
参考答案:
A
略
8. 已知的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 设实数满足约束条件,则的最大值为( )
(A)10 (B)8 (C)3 (D)2
参考答案:
B
10. 设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=log3x.若正数a,b满足,则f(a)﹣f(b)=_____.
参考答案:
-2
【分析】
直接代入函数式计算.
【详解】.
故答案为:.
【点睛】本题考查对数的运算,掌握对数运算法则是解题基础.本题属于基础题.
12. 函数y= 的单调递增区间是 .
参考答案:
13. .阅读下列程序,并指出当a=3,b= –5时的计算结果:a= ,b= .
参考答案:
a=0.5,b= – 1.25
14. 某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于 .
参考答案:
1
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,即可解得a的值.
【解答】解:模拟执行程序,可得
n=1,x=a
满足条件n≤3,执行循环体,x=2a+1,n=2
满足条件n≤3,执行循环体,x=2(2a+1)+1=4a+3,n=3
满足条件n≤3,执行循环体,x=2(4a+3)+1=8a+7,n=4
不满足条件n≤3,退出循环,输出x的值为15.
所以:8a+7=15,解得:a=1.
故答案为:1
15. 在△ABC中,已知A=45°,AB=,BC=2,则C=___________.
参考答案:
、30°
16. 集合,集合,则 ▲ .
参考答案:
17. 函数的定义域为 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长)已知(米),,,设,四边形OAPB的面积为S.
(1)将S表示为的函数,并写出自变量的取值范围;
(2)求出S的最大值,并指出此时所对应的值.
参考答案:
(1),其中;
(2)当时,S取得最大值.
【分析】
(1)在中,利用正弦定理将、用表示,然后利用三角形的面积公式可求出关于的表达式,结合实际问题求出的取值范围;
(2)利用(1)中的关于的表达式得出的最大值,并求出对应的的值.
【详解】(1)在中,由正弦定理得,
所以,
,
则的面积为,
因此,,其中;
(2)由(1)知,.
,,
当时,即当时,四边形的面积取得最大值.
【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质,在利用三角函数进行求解时,要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
19. 已知函数定义在[-1,1]上的奇函数,f(x)的最大值为.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)关于x的方程在上有解,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若存在,不等式成立,请同学们探究实数k的所有可能取值.
参考答案:
(Ⅰ)定义在上的奇函数,所以,又易得,从而,,所以,. 故
(Ⅱ)关于的方程在上有解,即在上有解
令:,则在上单调性递增函数,
所以在上的值域为
从而,实数的取值范围.
(Ⅲ)因为是奇函数且在为单调递增函数,
所以由有
即:存在使得成立,分别由以及在上的图像可知, 在上是增函数,所以,所以
又即,所以,综上:.
20. (本小题满分12分)如图已知A,B,C是一条直路上的三点,AB=1 km,BC=2 km,从三点分别遥望塔M,在A处看见塔在北偏东60°,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东60°,求塔M到直线ABC的最短距离.
参考答案:
由条件可知∠CMB=30°,∠AMB=30°,
又AB=1 km,BC=2 km,
所以△CMB和△AMB的面积比为2∶1,
即,所以MC=2MA;
在△ACM中,由余弦定理可得:
9=MC2+MA2-2·MC·MA·cos 60°,MA=,
△ACM为直角三角形,
M到ABC的最短距离为.
21. 已知a>1,= log(a-a).
⑴ 求的定义域、值域;
⑵判断函数的单调性 ,并证明;
⑶解不等式:>
参考答案:
解析:为使函数有意义,需满足a-a>0,即a<a,当注意到a>1时,所求函数的定义域为(-∞,1),
又log(a-a)<loga = 1,故所求函数的值域为(-∞,1).
⑵设x<x<1,则a-a>a-a,所以-= log(a-a)-log(a-a)>0,即>.
所以函数为减函数.
⑶易求得的反函数为= log(a-a) (x<1),
由>,得log(a-a)>log(a-a),
∴a<a,即x-2<x,解此不等式,得-1<x<2,
再注意到函数的定义域时,故原不等式的解为-1<x<1.
22. (本题满分10分)
已知,的夹角为120°,且||=4,||=2,
求:(1)( -2)·(+);(2)| +|;
参考答案:
解:(1)
(2)
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