2022年上海求知中学高二数学理联考试卷含解析

2022年上海求知中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在四面体中，已知, 该四面体的其余五条棱的长度均为2，则下列说法中错误的是（      ） 棱长的取值范围是：            该四面体一定满足：            当时，该四面体的表面积最大             当时，该四面体的体积最大 参考答案： D 略 2. 设双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为(    ) A．         B．         C．          D. 参考答案： A 3. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形， 四边形ABEF是矩形，且AF＝，G是EF的中点， 则GB与平面AGC所成角的正弦值为（    ）                                                      A. B.         C.     D. 参考答案： D 略 4. 公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（　　） A．2 B．3 C． D． 参考答案： B 【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设等差数列{an}的公差为d（d≠0），可得，故，进而可得a2，a3，代入可得比值． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0）， 由题意可得， 解得，故a2=a1+d=，a3=a1+2d=， 故公比等于==3， 故选B 【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式，属基础题． 5. 设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+，b+，c+的值（　　） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 参考答案： D 【考点】进行简单的合情推理． 【分析】利用反证法，即可得出结论． 【解答】解：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6， 利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2． 故选：D． 6. 有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是（   ） A、     B、     C、      D、 参考答案： C 7. 设函数f (x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f (x)＋f ′(x)为奇函数，则φ＝（    ） A.        B.               C.       D. 参考答案： D 8. 如图是函数的部分图象，f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为，则f(x)的一个极值点为（    ） A．      B．       C．        D． 参考答案： C 由题意， ，则，，，，∴，即，经检验只有是极小值点. 故选C.   9. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： B 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】第一步：设椭圆的标准方程为，右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形； 第二步：由勾股定理，得|PF′|； 第三步：由椭圆的定义，得a2； 第四步：由b2=a2﹣c2，得b2； 第五步：根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程． 【解答】解：设椭圆标准方程为，焦距为2c， 右焦点为F′，连接PF′，如右图所示． 因为F（﹣2，0）为C的左焦点，所以c=2． 由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′． 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=， 由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36， 于是， 所以椭圆的方程为． 故选B． 10. 已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），得z1=1﹣i，z2=﹣2+i，再由复数代数形式的乘除运算化简，即可得答案． 【解答】解：由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1）， 得z1=1﹣i，z2=﹣2+i， 则=． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 12. 已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为　　． 参考答案： [3，6] 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】将圆的方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A（a，9﹣a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y﹣7=x﹣2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立． 【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2， 设A点的横坐标为a． 则纵坐标为9﹣a； ①当a≠2时，kAB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角， 则可得k=， 直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a） 即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0， 又点C在圆M上， 所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径， 即≤， 化简得a2﹣9a+18≤0， 解得3≤a≤6； ②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2 即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞， 这样点C不在圆M上， 还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件， 综上：A点的横坐标范围为[3，6]． 故答案为：[3，6]． 13. 有下列四个命题：   命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为： “两直线不平行,同位角不相等”； “”是“”的必要不充分条件； 若为假命题，则、均为假命题； 对于命题：, 则： . 其中正确是                         . 参考答案： ①②④ 14. 如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左准线的距离是 ▲. 参考答案： 15. 已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题： ①数列0,1,3,5,7具有性质；         ②数列0,2,4,6,8具有性质； ③若数列具有性质，则； ④若数列具有性质，则。 其中真命题有  。 参考答案： ②③④ 分析：根据数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确． ∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项， ①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确； ②数列0，2，4，6，aj+ai与aj-ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4-a3=2是该数列中的项，故②正确； ③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3， 而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴a1=0；故③正确； ④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3 ∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0， 1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3， ∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项 ∴a3-a2=a2，∴a1+a3=2a2 2°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3 ①若a3-a1=a3同1°， ②若a3-a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾， ③a3-a1=a1，则a3=2a1 综上a1+a3=2a2， 16. 采用系统抽样法，从152人中抽取一个容量为15人的样本，则每人被抽取的可能性为                  （请用分数作答） 参考答案： 略 17. 对于三次函数，定义是函数的导函数。若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心。根据这一发现，对于函数，     则的值为  ▲   。 参考答案：          三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足a1=3，an+1-3an=3n(n∈N*)，数列{bn}满足． （1）证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】数列递推式；84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和． 【分析】（1）由，可得，然后检验bn+1﹣bn是否为常数即可证明，进而可求其通项 （2）由题意可先求an，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可求解 【解答】解（1）证明：由，得， ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以数列{bn}是等差数列，首项b1=1，公差为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+（n+2）×3n﹣1﹣﹣﹣﹣① ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ①﹣②得 =2+1+3+32+…+3n﹣1﹣（n+2）×3n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19. 用秦九韶算法写出求f（x）=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5在x=－0.2时的值的过程。 参考答案： 解析：先把函数整理成 f（x）=（（（（0.00833x+0.04167）x+0.16667）x+0.5）x+1）x+1，按照从内向外的顺序依次进行。 x=－0.2 a5=0.00833  V0=a5=0.00833    ……………………………………（2分） a4=0.04167  V1=V0x+a4=0.04   ……………………………………（4分） a3=0. 16667  V2=V1x+a3=0.15867  ……………………………………（6分） a2=0.5  V3=V2x+a2=0.46827     ………………………………………（８分） a1=1  V4=V3x+a1