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2022年上海求知中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在四面体中,已知, 该四面体的其余五条棱的长度均为2,则下列说法中错误的是( )
棱长的取值范围是:
该四面体一定满足:
当时,该四面体的表面积最大
当时,该四面体的体积最大
参考答案:
D
略
2. 设双曲线C:的右焦点为F,O为坐标原点.若以F为圆心,FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A(不同于O点),则△OAF的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,
四边形ABEF是矩形,且AF=,G是EF的中点,
则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 公差不为0的等差数列{an}中,a2,a3,a6依次成等比数列,则公比等于( )
A.2 B.3 C. D.
参考答案:
B
【考点】等比数列的性质;等差数列的通项公式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),可得,故,进而可得a2,a3,代入可得比值.
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
由题意可得,
解得,故a2=a1+d=,a3=a1+2d=,
故公比等于==3,
故选B
【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式,属基础题.
5. 设a,b,c∈(0,+∞),则三个数a+,b+,c+的值( )
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
参考答案:
D
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】利用反证法,即可得出结论.
【解答】解:假设3个数a+<2,b+<2,c+<2,则a++b++c+<6,
利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6,这与假设所得结论矛盾,故假设不成立,
所以,3个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2.
故选:D.
6. 有2n个数字,其中一半是奇数,一半是偶数,从中任取两个数,则所取的两数之和为偶数的概率是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
7. 设函数f (x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f (x)+f ′(x)为奇函数,则φ=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 如图是函数的部分图象,f(x)的两零点之差的绝对值的最小值为,则f(x)的一个极值点为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由题意, ,则,,,,∴,即,经检验只有是极小值点.
故选C.
9. 如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(﹣2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
参考答案:
B
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】第一步:设椭圆的标准方程为,右焦点为F′,由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知,△PFF′为直角三角形;
第二步:由勾股定理,得|PF′|;
第三步:由椭圆的定义,得a2;
第四步:由b2=a2﹣c2,得b2;
第五步:根据椭圆标准方程的形式,直接写出椭圆的方程.
【解答】解:设椭圆标准方程为,焦距为2c,
右焦点为F′,连接PF′,如右图所示.
因为F(﹣2,0)为C的左焦点,所以c=2.
由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,
由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,
于是,
所以椭圆的方程为.
故选B.
10. 已知复数z1,z2在复平面内的对应点的分别为(1,﹣1),(﹣2,1),则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】由复数z1,z2在复平面内的对应点的分别为(1,﹣1),(﹣2,1),得z1=1﹣i,z2=﹣2+i,再由复数代数形式的乘除运算化简,即可得答案.
【解答】解:由复数z1,z2在复平面内的对应点的分别为(1,﹣1),(﹣2,1),
得z1=1﹣i,z2=﹣2+i,
则=.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 .
参考答案:
12. 已知直线L:x+y﹣9=0和圆M:2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0,点A在直线L上,B、C为圆M上两点,在△ABC中,∠BAC=45°,AB过圆心M,则点A横坐标范围为 .
参考答案:
[3,6]
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】将圆的方程化为(x﹣2)2+(y﹣2)2=()2,设A(a,9﹣a)①当a≠2时,把∠BAC看作AB到AC的角,又点C在圆M,由圆心到AC的距离小于等于圆的半径,求出a的范围.②当a=2时,则A(2,7)与直线x=2成45°角的直线有y﹣7=x﹣2,M到它的距离,判断这样点C不在圆M上不成立.
【解答】解:圆M:2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为(x﹣2)2+(y﹣2)2=()2,
设A点的横坐标为a.
则纵坐标为9﹣a;
①当a≠2时,kAB=,设AC的斜率为k,把∠BAC看作AB到AC的角,
则可得k=,
直线AC的方程为y﹣(9﹣a)=(x﹣a)
即5x﹣(2a﹣9)y﹣2a2+22a﹣81=0,
又点C在圆M上,
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径,
即≤,
化简得a2﹣9a+18≤0,
解得3≤a≤6;
②当a=2时,则A(2,7)与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2
即x﹣y+5=0,M到它的距离d==>,
这样点C不在圆M上,
还有x+y﹣9=0,显然也不满足条件,
综上:A点的横坐标范围为[3,6].
故答案为:[3,6].
13. 有下列四个命题:
命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题为: “两直线不平行,同位角不相等”;
“”是“”的必要不充分条件;
若为假命题,则、均为假命题;
对于命题:, 则: .
其中正确是 .
参考答案:
①②④
14. 如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的左准线的距离是 ▲.
参考答案:
15. 已知数列具有性质:对任意,与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题:
①数列0,1,3,5,7具有性质;
②数列0,2,4,6,8具有性质;
③若数列具有性质,则;
④若数列具有性质,则。
其中真命题有 。
参考答案:
②③④
分析:根据数列A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质P:对任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项,逐一验证,可知①错误,其余都正确.
∵对任意i,j(1≤i≤j≤n),aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项,
①数列0,1,3中,a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数,故①不正确;
②数列0,2,4,6,aj+ai与aj-ai(1≤i≤j≤3)两数中都是该数列中的项,并且a4-a3=2是该数列中的项,故②正确;
③若数列A具有性质P,则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项,
∵0≤a1<a2<…<an,n≥3,
而2an不是该数列中的项,∴0是该数列中的项,
∴a1=0;故③正确;
④∵数列a1,a2,a3具有性质P,0≤a1<a2<a3
∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项,且a1=0,
1°若a1+a3是该数列中的一项,则a1+a3=a3,
∴a1=0,易知a2+a3不是该数列的项
∴a3-a2=a2,∴a1+a3=2a2
2°若a3-a1是该数列中的一项,则a3-a1=a1或a2或a3
①若a3-a1=a3同1°,
②若a3-a1=a2,则a3=a2,与a2<a3矛盾,
③a3-a1=a1,则a3=2a1
综上a1+a3=2a2,
16. 采用系统抽样法,从152人中抽取一个容量为15人的样本,则每人被抽取的可能性为 (请用分数作答)
参考答案:
略
17. 对于三次函数,定义是函数的导函数。若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。有同学发现:任何一个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心。根据这一发现,对于函数,
则的值为 ▲ 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}满足a1=3,an+1-3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足.
(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】数列递推式;84:等差数列的通项公式;8E:数列的求和.
【分析】(1)由,可得,然后检验bn+1﹣bn是否为常数即可证明,进而可求其通项
(2)由题意可先求an,结合数列的通项的特点,考虑利用错位相减求和即可求解
【解答】解(1)证明:由,得,
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以数列{bn}是等差数列,首项b1=1,公差为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴Sn=a1+a2+…+an=3×1+4×3+…+(n+2)×3n﹣1﹣﹣﹣﹣①
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
①﹣②得
=2+1+3+32+…+3n﹣1﹣(n+2)×3n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
19. 用秦九韶算法写出求f(x)=1+x+0.5x2+0.16667x3+0.04167x4+0.00833x5在x=-0.2时的值的过程。
参考答案:
解析:先把函数整理成
f(x)=((((0.00833x+0.04167)x+0.16667)x+0.5)x+1)x+1,按照从内向外的顺序依次进行。
x=-0.2
a5=0.00833 V0=a5=0.00833 ……………………………………(2分)
a4=0.04167 V1=V0x+a4=0.04 ……………………………………(4分)
a3=0. 16667 V2=V1x+a3=0.15867 ……………………………………(6分)
a2=0.5 V3=V2x+a2=0.46827 ………………………………………(8分)
a1=1 V4=V3x+a1
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