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广东省湛江市遂溪县洋青职业高级中学高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图像经过四个象限,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 840和1764的最大公约数是( )
A.84 B.12 C.168 D.252
参考答案:
A
3. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(A). (B). (C). (D).
参考答案:
B
4. 若把函数的图象向右平移(>0)个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 在△ABC中,若|+|=|﹣|,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则?=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
考点:平面向量数量积的运算.
专题:计算题;平面向量及应用.
分析:运用向量的平方即为模的平方,可得=0,再由向量的三角形法则,以及向量共线的知识,化简即可得到所求.
解答: 解:若|+|=|﹣|,
则=,
即有=0,
E,F为BC边的三等分点,
则=(+)?(+)=()?()
=(+)?(+)
=++=×(1+4)+0=.
故选B.
点评:本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查向量共线的定理,考查运算能力,属于中档题.
6. 若,设,,,则、、的大小关系为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
由于,所以根据指数函数性质,即;又,所以,所以,即,所以,故选B.
7. 设变量 满足约束条件 ,则目标函数的最大值为
(A)3 (B)4 (C)18 (D)40
参考答案:
C
8. 曲线在点P处的切线的斜率为4,则P点的坐标为( )
A. B. 或 C. D. 或
参考答案:
B
略
9. 若z是复数,z=.则z?=( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
D
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z,求出,然后代入z?计算得答案.
【解答】解:由z==,
得,
则z?=.
故选:D.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
10. 函数的图像可以是
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α和β的夹角θ的取值范围是________.
参考答案:
12. 甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如右面的茎叶图所示,若甲、乙两人成绩的中位数分别是、,则____________。
参考答案:
84
13. 如图,在四边形ABCD中,=λ(λ∈R),||=||=2,|-|=2,且△BCD是以BC为斜边的直角三角形,则·的值为_____.
参考答案:
-4
14. 在中,若,的面积为,则角 .
参考答案:
,
略
15. 如图所示,一游泳者与游泳池边AB成60°的方向向游泳池里直线游了10米,然后任意选择一个方向继续直线游下去,则他再游不超过10米就能够回到游泳池边AB的概率是 。
参考答案:
。
如图所示为该游泳者再游不超过10米就能够回到游泳池边AB边的区域,根据几何概型公式得。
16. 函数f(x)=的值域为 .
参考答案:
[0,1)
略
17. 已知点是抛物线:上的不同的三点,为坐标原点,直线
,且抛物线的准线方程为.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 若的重心在直线上,
求的面积取值范围.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数。
(1)若解不等式;
(2)如果关于的不等式有解,求的取值范围。
参考答案:
解:(1)当时,
由,得,
① 当时,不等式化为即
所以,原不等式的解为
② 当时,不等式化为即
所以,原不等式无解.
③ 当时,不等式化为即
所以,原不等式的解为
综上,原不等式的解为
(说明:若考生按其它解法解答正确,相应给分)
(2)因为关于的不等式有解,所以,
因为表示数轴上的点到与两点的距离之和,
所以,
解得,
所以,的取值范围为。
19. 已知函数f(x)=cosωx(sinωx﹣cosωx)+的周期为2π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA=2c﹣a,求f(B)的值.
参考答案:
考点:
三角函数的恒等变换及化简求值;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为 ,由于它的周期为 2π=,求得ω 的值.
(Ⅱ)在△ABC中,由条件利用余弦定理求得cosB的值,即可得到B的值.
解答:
解:(Ⅰ)==,
由于它的周期为 2π=,∴ω=.
(Ⅱ)在△ABC中,由,可得 .
整理得,故,∴B=.
点评:
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数的周期性和求法,余弦定理的应用,属于中档题.
20. (本题满分12分)本题共有2个小题,.第(1)小题满分6分,第(2)小题满分6分.
已知函数;
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数,的值域.
参考答案:
(1) …3分
所以函数的最小正周期为 …………………3分
(2) ………………………2分
∵,∴, ……………2分
∴. …………………2分
另解: …2分
∵,∴, ……………………2分
∴,即. …………………………2分
21. 已知正实数a,b,c,函数f(x)=|x+a|?|x+b|.
(Ⅰ)若a=1,b=3,解关于x的不等式f(x)+x+1<0;
(Ⅱ)求证:f(1)f(c)≥16abc.
参考答案:
【考点】R6:不等式的证明;R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)原不等式等价于|(x+1)(x+3)|<﹣x﹣1?x+1<(x+1)(x+3)<﹣x﹣1,即可得出结论;
(Ⅱ)利用基本不等式与不等式的性质证明f(1)f(c)≥16abc.
【解答】解:(Ⅰ)原不等式等价于|(x+1)(x+3)|<﹣x﹣1?x+1<(x+1)(x+3)<﹣x﹣1
?x∈(﹣4,﹣2),
∴解集为 (﹣4,﹣2)
(Ⅱ)∵a,b,c为正数,
所以有
∴
22. 如图,在四棱锥中,,∥,且,,.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:取中点为,连接,因为,所以,又,,所以,所以四边形为矩形,所以,
又,所以平面.-------------------------------------------4分
又,所以平面,
又平面,所以平面平面.-------------------------------6分
(Ⅱ) 在中,,,,所以;
在中,,,,所以.
取和的中点分别为和,则,
又,所以,所以四边形为平行四边形,
又,为的中点,所以,
所以平面,所以平面,所以平面平面,----------10分
所以为在平面上的射影,所以为与平面所成的角。----- 12分
在中,,,所以,
所以。
即直线与平面所成角的正弦值为------------------------------ 15分
(用其它方法(如用空间向量法、等体积法等)解答,酌情给分!)
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