2021年湖南省株洲市中考数学真题含详解

2021年湖南省株洲市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分） 1．若a的倒数为2，则a＝（　　） A． B．2 C．﹣ D．﹣2 2．方程﹣1＝2的解是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6 3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（　　） A．38° B．48° C．58° D．66° 4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（　　） A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加 B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少 C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等 D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多 5．计算：＝（　　） A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2 6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　） A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升 7．不等式组的解集为（　　） A．x＜1 B．x≤2 C．1＜x≤2 D．无解 8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　） A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0 10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度： ①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口； ③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口． 则上述说法正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．计算：（2a）2•a3＝　 　． 12．因式分解：6x2﹣4xy＝　 　． 13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078×10n，则n＝　 　． 14．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是 　 　． 15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝　 　． 16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表： 中药 黄芪 焦山楂 当归 销售单价（单位：元/千克） 80 60 90 销售额（单位：元） 120 120 360 则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为 　 　千克． 17．点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 　 　． 18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝　 　度． 三、解答题（本大题共8小题，共78分） 19．（6分）计算：|﹣2|+sin60°﹣2﹣1． 20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2． 21．（8分）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2． （1）求证：四边形BFED是平行四边形； （2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度． 22．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点B（E）按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上．已知MG∥PQ，∠FBP＝30°，过点F作FH⊥MG于点H，FH＝米，EF＝4米． （1）求线段FG的长度； （2）求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程． 23．（10分）目前，国际上常用身体质量指数“BMI”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：BMI＝（G表示体重，单位：千克；h表示身高，单位：米）．已知某区域成人的BMI数值标准为：BMI＜16为瘦弱（不健康）；16≤BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖（不健康）． 某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的BMI数值后统计： （男性身体属性与人数统计表） 身体属性 人数 瘦弱 2 偏瘦 2 正常 1 偏胖 9 肥胖 m （1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数； （2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的BMI数值； （3）当m≥3且n≥2（m、n为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值． 24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E． （1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标； （2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值． 25．（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2． （1）求证：直线CF是⊙O的切线； （2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC． ①求证：△ACD∽△OBE； ②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度． 26．（13分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝，b＝c＝﹣2，求方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，与y轴的负半轴交于点C，点D在线段OC上，连接AC、BD，满足∠ACO＝∠ABD，﹣+c＝x1． ①求证：△AOC≌△DOB； ②连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，点F（0，x1﹣x2）在y轴的负半轴上，连接AF，且∠ACO＝∠CAF+∠CBD，求的值． 2021年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题详解 一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分） 1．若a的倒数为2，则a＝（　　） A． B．2 C．﹣ D．﹣2 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案． 【解答】解：∵a的倒数为2， ∴a＝． 故选：A． 2．方程﹣1＝2的解是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6 【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：﹣1＝2， 移项，得＝2+1， 合并同类项，得＝3， 系数化成1，得x＝6， 故选：D． 3．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（　　） A．38° B．48° C．58° D．66° 【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可． 【解答】解：∵∠DCE＝132°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣132°＝48°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠DCB＝48°， 故选：B． 4．某月1日﹣10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（　　） A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加 B．1日﹣6日，乙的步数逐天减少 C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等 D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多 【分析】根据图中给出的甲乙两人这10天的数据，依次判断A，B，C，D选项即可． 【解答】解：A．1日﹣10日，甲的步数逐天增加；故A正确，不符合题意；B．1日﹣5日，乙的步数逐天减少；6日步数的比5日的步数多，故B错误，符合题意； C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等；故C正确，不符合题意； D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多；故D正确，不符合题意； 故选：B． 5．计算：＝（　　） A．﹣2 B．﹣2 C．﹣ D．2 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【解答】解：﹣4×＝﹣4×＝﹣2． 故选：A． 6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　） A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升 【分析】先将单位换成升，根据：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列式可得结论． 【解答】解：根据题意得：3斗＝30升， 设可以换得的粝米为x升， 则＝， 解得：x＝＝18（升）， 答：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为18升． 故选：C． 7．不等式组的解集为（　　） A．x＜1 B．x≤2 C．1＜x≤2 D．无解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2， 解不等式﹣x+1＞0，得：x＜1， 则不等式组的解集为x＜1． 故选：A． 8．如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论． 【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°,∠IAB＝108°, ∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°, 故选：B． 9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，设M＝ac（a+b+c），则M的取值范围为（　　） A．M＜﹣1 B．﹣1＜M＜0 C．M＜0 D．M＞0 【分析】由图象得x＝1时，y＜0即a+b+c＜0，当y＝0时，得与x轴两个交点，x1x2＝＜0，即可判断M的范围． 【解答】解