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河北省承德市亮甲台乡职业中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:当时,;当 时,.则函数(“· ”和“-”仍为通常的乘法和减法)的最大值等于( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 已知抛物线
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
3. i是虚数单位,复数=
(A)1-i (B)-1+I
(C)1+I (D)-1-i
参考答案:
C
复数,选C.
4. 命题“?x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4},从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集,由选择项不难得出答案.
【解答】解:命题“?x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题,可化为?x∈[1,2],a≥x2,恒成立
即只需a≥(x2)max=4,即“?x∈[1,2],x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4,
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集,由选择项可知C符合题意.
故选C
5. 已知(),其中为虚数单位,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 在中,角的对边分别为,已知命题若,则;命题若,则为等腰三角形或直角三角形,则下列的判断正确的是
为真 B.为假 C.为真 D.为假
参考答案:
B
略
7. 如图1,风车起源于周,是一种用纸折成的玩具。它用高粱秆,胶泥瓣儿和彩纸扎成,是老北京的象征,百姓称它吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图2是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图,若在示意图内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 命题“若p则q”的否定是( )
A 若q则p B 若p则 q C若则 D若p则
参考答案:
D
9. 已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【分析】由于f(x)=x2+cosx,得f′(x)=x﹣sinx,由奇函数的定义得函数f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,取x=代入f′()=﹣sin=﹣1<0,排除C,只有A适合.
【解答】解:由于f(x)=x2+cosx,
∴f′(x)=x﹣sinx,
∴f′(﹣x)=﹣f′(x),故f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,
又当x=时,f′()=﹣sin=﹣1<0,排除C,只有A适合,
故选:A.
10. 已知是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点满足则点构成的图形的面积为 .
参考答案:
2
略
12. 已知双曲线的离心率,它的一条渐近线与抛物线的准线交点的纵坐标为 ,则正数的值为 .
参考答案:
略
13. 函数f(x)=的最小正周期是 .
参考答案:
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用三角函数公式化简只有一个函数名,即可求解周期.
【解答】解:函数f(x)===tan2x.
∴最小正周期T=.
故答案为.
【点评】本题主要考查三角函数的化简能力及图象和性质,比较基础.
14. 程序框图如图,若输入S=1,k=1,则输出的S为 .
参考答案:
26
【考点】EF:程序框图.
【分析】输入S,k的值,进入循环体,求出满足条件的S的值即可.
【解答】解:模拟程序的运行,可得:
输入S=1,k=1,
则k=2<5,S=4,执行循环体,
k=3<5,S=11,执行循环体,
k=4<5,S=26,执行循环体,
k=5≥5,退出循环体,输出S=26,
故答案为:26.
【点评】题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,属于基础题.
15. 某年级480名学生在一次面米测试中,成绩全部介于13秒和18秒之间,将测试结果分成5组,如图为其频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,那么成绩在[16,18]的学生人数是 .
参考答案:
216
【考点】频率分布直方图.
【分析】先求出成绩在[16,18]的学生的频率,由此能求出成绩在[16,18]的学生人数.
【解答】解:频率分布直方图中,
从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3,
∴成绩在[16,18]的学生的频率为: =0.45,
∴成绩在[16,18]的学生人数是:480×0.45=216.
故答案为:216.
16. 已知是上的偶函数,若将的图象向左平移一个单位后,则得到一个奇函数的图象,若,则
参考答案:
17. 已知圆的圆心与点关于直线对称.直线与圆相交于两点,且,则圆的方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,多面体中,四边形是正方形,四边形是直角梯形,且.、都是等腰直角三角形,、分别为直角顶点,是上的点,.
(1)证明平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)当时,求多面体的体积.
参考答案:
(2)如图建立坐标系,设,则,,,
,而,
所以,
,设平面的法向量为,
则,取,则,由(1),平面,而,可取为平面的一个法向量, . ………………8分
(3)多面体体积为
. ………………12分
略
19. (2015?南昌校级模拟)设函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣6|.
(1)解不等式f(x)>5;
(2)若存在实数x满足f(x)≥ax﹣1,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】: 函数恒成立问题;抽象函数及其应用.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: (1)化简函数的解析式,利用f(x)的图象与y=5的交点横坐标,求解不等式即可;
(2)画出函数的图象,利用已知条件结合表达式的几何意义,求解a的范围.
解:(1)f(x)=,
y=f(x)与y=5图象交点的横坐标为,
∴
(2)f(x)=,
直线y=ax﹣1恒过点(0,﹣1),如图点A(6,2),当且仅当函数y=f(x)与直线y=ax﹣1有公共点时满足要求,由图象可得
【点评】: 本题考查函数的恒成立,函数的图象的应用,考查数形结合以及转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力.
20. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctanC=(acosB+bcosA).
(1)求角C;
(2)若c=2,求△ABC面积的最大值.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)利用正弦定理与和差公式即可得出.
(2)利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:(1)ctanC=(acosB+bcosA),
由正弦定理可得:sinCtanC=(sinAcosB+sinBcosA)=sin(A+B)=sinC.
∴tanC=,C∈(0,π).
∴C=.
(2)由余弦定理可得:12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab=ab,
可得ab≤12,当且仅当a=2时取等号.
∴△ABC面积的最大值==3.
21. 已知椭圆的离心率为, A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点点满足.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线经过点P且与C交于不同的两点M,N,试问:在轴上是否存在点Q,使得QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在,请求出点Q的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意,、,,
∴,
由,,得,∵,
∴,
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时,
它与椭圆只有一个交点,不满足题意.
因此直线的斜率存在,设,由,消得
,
设,则,
∵
,
∴要使对任意实数为定值,则只有,此时,.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值1.
22. (13分)设函数,,若函数的图象与轴的交点也在函数的图象上,且在此点有公切线.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ) 证明:当x>1时,<.
参考答案:
(I)∵,, …………2分
∴由题意可得:。 …………5分
(11)由(I)可知,令。
∵, …………8分
∴是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0, …………9分
当时,,有; …………12分
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