广东省河源市忠信中学2022年高三数学文期末试卷含解析

广东省河源市忠信中学2022年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若对于任意的实数x，有x3 = a0 + a1(x – 2) + a2 (x – 2)2 + a3 (x – 2)3，则a2的值为（   ） A．3                           B．6                            C．9                           D．12 参考答案： B 2. 若实数满足，则的取值范围为（     ） A．       B．       C．       D． 参考答案： C 略 3. 下列命题： ①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分条件； ②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件； ③“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件． 其中所以真命题的序号是（　　） 　 A． ③ B． ②③ C． ①② D． ①③ 参考答案： 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 计算题． 分析： 选项①“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件；选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可，可得a＞0；选项③由充要条件的证明方法可得． 解答： 解：选项①当时，必存在n∈N*，使得成立，故前者是后者的充分条件， 但存在n∈N*，使得成立时，a即为当n∈N*，时的取值范围，即， 故“”应是“存在n∈N*，使得成立”的充要条件，故①错误； 选项②当存在n∈N*，使得成立时，a只需大于当n∈N*，时的最小取值即可， 故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要条件，故②正确； 选项③由①知，当n∈N*时的取值范围为， 故当时，必有“不等式对一切n∈N*恒成立”， 而要使不等式对一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a 故“”是“不等式对一切n∈N*恒成立”的充要条件． 故选B 点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及指数函数和恒成立问题，属基础题． 4. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则=(   ) A．{5，7} B．{2，4} C．{1，3，5，6，7} D．{2，4，8} 参考答案： D 略 5. 当时，下列大小关系正确的是  (      ) A. B.  D.  D. 参考答案： D 6. 函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，，， 为坐标原点，则当时， 的取值范围为 （    ）                       参考答案： D 7. 已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范围是     A．        B．        C．        D． 参考答案： C 略 8. 已知是R上的奇函数，且当时，， 则 关于直线对称的图象大致是(　　) 参考答案： A 9. 下列命题中，真命题是   (A)                     (B)   (C)的充要条件是          (D) 若为假，则为假 参考答案： A 10. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（   ） A．7         B．9       C. 10         D．11 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是          . 参考答案： （-∞，2） 略 12. 已知与为非零向量，，且，则与的夹角为　　． 参考答案： 45° 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据向量的夹角公式，以及向量的垂直，向量模计算即可． 【解答】解：设与的夹角为θ， ∵， ∴|+|2=|﹣|2， ∴?=0， ∵， ∴（+）?（﹣）=0， ∴=， ∴?=，|+|=||， ∴cosθ==， ∵0≤θ≤180°， ∴θ=45°， 故答案为：45°． 【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量的模的计算以及向量垂直的条件，属于中档题． 13. 已知n=（2x+1）dx，数列{}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣35，n∈N*，则bnSn的最小值为　　． 参考答案： ﹣25 【考点】定积分；数列的求和． 【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列{}的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案 【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n ∴==﹣ ∴数列{}的前n项和为Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=， bn=n﹣35，n∈N*， 则bnSn=×（n﹣35）=n+1+﹣37≥2×6﹣37=﹣25， 等号当且仅当n+1=，即n=5时成立， 故bnSn的最小值为﹣25． 故答案为：﹣25 14. 写出函数的单调递减区间       . 参考答案： 略 15. 已知则            ． 参考答案： 1 ∵∴， ∴，∴. 16. 函数的定义域是  ▲  . 参考答案： 17. 若，则的值是 ___________. 参考答案： -2- 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）         “宜昌梦，大城梦” 。当前，宜昌正以特大城市的建设理念和标准全力打造宜昌新区，同时加强对旧城区进行拆除改造。已知旧城区的住房总面积为,每年拆除的面积相同；新区计划用十年建成，第一年新建设的住房面积为，前四年每年以的增长率建设新住房，从第五年开始，每年新建设的住房面积比上一年减少 （Ⅰ） 若年后宜昌新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少？ （Ⅱ）设第年N) 新区的住房总面积为 ，求. 参考答案： 解：⑴年后新城区的住房总面积为          . 设每年旧城区拆除的数量是，则,  解得，即每年旧城区拆除的住房面积是.              ………………6分 ⑵设第年新城区的住房建设面积为，则    所以当时，  ；                        ………………9分 当时， .      故。                   ………………13分 19. 已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足，。 （1）求的值； （2）若，求实数的取值范围。 参考答案：     略 20. （12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，若AB=8，DC=2，AD=6，PA=4，∠PAD=45°，且． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）设平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为θ（0°＜θ≤90°），求cosθ的值． 参考答案： 考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间角． 分析： （Ⅰ）由已知条件利用余弦定理求出，从而得到PO⊥AD，由此能够证明PO⊥平面ABCD． （Ⅱ）过O作OE∥AB交BC于E，以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小的余弦值． 解答： 解：（Ⅰ）因为 ，， 所以，…（1分） 在△PAO中，由余弦定理PO2=PA2+AO2﹣2PA?AOcos∠PAO， 得，…（3分） ∴，∴PO2+AO2=PA2，…（4分） ∴PO⊥AD，… 又∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD．…（6分） （Ⅱ）如图，过O作OE∥AB交BC于E，则OA，OE，OP两两垂直， 以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x、y、z轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz，…（7分） 则O（0，0，0），，．…（8分） ∴，=，…（9分） 设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z）， 由，得， 即，取x=1，则， ∴为平面PBC的一个法向量．…（11分） ∵AB⊥平面PAD，∴为平面PAD的一个法向量． ∴=，…（12分） ∴．…（13分） 点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 21. 试判断函数在[，+∞）上的单调性． 参考答案： 解：设，则有 =           ==           =． ，且，， 所以，即． 所以函数在区间[，+∞)上单调递增． 22. （本小题满分13分） 在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； （Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率. 参考答案： 解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有人………………2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为………………4分 （II）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 ………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A………………9分 设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为 {甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},一共有6个基本事件 ………………11分 设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则. ………………13分 略