广东省梅州市华阳中学高三数学理期末试卷含解析

广东省梅州市华阳中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知p：，；q：.若“”是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A．(1,+∞)             B．(－∞,3)           C．(1,3)            D．(－∞,1)∪(3,+∞) 参考答案： C 由“”是真命题，则为真命题，也为真命题， 若为真命题，则不等式恒成立，，∴． 若为真命题，即，所以．即.故选C. 2. 已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的 (     ) A．充分而不必要条件         B．必要而不充分条件 C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件   参考答案： A 略 3.  已知函数是奇函数，是偶函数，且=(      ) A．-2            B．0              C．2              D．3 参考答案： A 4. 已知，，则的值为（  ） A. B. C. D. 参考答案： A 分析：根据同角三角函数关系由求得，于是可得，然后再根据两角和的余弦公式求解即可． 详解：∵，， ∴， ∴， ． ∴． 故选A． 点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力． 5. 已知等差数列{an}的通项公式an=，设An=|an+an+1+…+an+12|（n∈N*），当An取得最小值时，n的取值是（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 参考答案： D 【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列的通项公式可得数列首项和公差，且求得数列{an}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0．由此可知只有第16项为中间项时An=|an+an+1+…+an+12|最小，此时n=10． 【解答】解：由an=，可得等差数列的首项为a1=12，公差d=， 则数列{an}为递减数列，由an==0，解得n=16． ∴数列{an}的前15项大于0，第16项等于0，第17项及以后项小于0． 而an+an+1+…+an+12为数列中的13项和， ∴只有第16项为中间项时An=|an+an+1+…+an+12|最小，此时n=10． 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，关键是对题意的理解，是基础题． 6. 已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】9V：向量在几何中的应用；J8：直线与圆相交的性质． 【专题】11 ：计算题；5A ：平面向量及应用． 【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论． 【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B， ∴ ∴4＞ ∴4＞ ∵k＞0，∴ 故选C． 7. 设函数则满足f(x+1)＜f(2x)的x的取值范围是（    ） A．(－∞,1] B．(0,+∞) C．(－1,0) D．(－∞,0)   参考答案： D 解答： 将函数f(x)的图像画出来， 观察图像可知会有，解得x＜0， 所以满足f(x+1)＜f(2x)的x的取值范围是(－∞,0)，故选D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为（    ） （Ａ） 1　　 　　  （Ｂ） 2　　 　    （Ｃ）3　　 　  （Ｄ） 参考答案： D 略 9. 下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是       (    ）              A．    B．        C．       D． 参考答案： B 10. 已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于（　　） A．10 B．5 C．15 D．25 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】利用椭圆的定义，化简求解即可． 【解答】解：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，椭圆+=1可知，椭圆的焦点坐标在x轴， ∴a=5，∴a2=25，即m=25． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1， x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题： ①f（3）=0； ②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数； ④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为         （把所有正确命题的序号都填上） 参考答案： ①②④ 【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0． （2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f （x+6）=f （x），得周期为6， 从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴 （3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数． （4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0． 【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0． ②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6， 又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x）， 而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6）， 所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴． ③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有 所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数， 因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数 而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数． ④：f（3）=0，f（x）的周期为6， 所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0 函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点． 故答案为：①②④． 【点评】本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值． 12. 设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数f（x）=x没有极值点的概率是　　． 参考答案： 0.7 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】令f′（x）=0至多只有1解得出η的范围，再利用正态分布的对称性得出f（x）无极值点的概率． 【解答】解：f′（x）=x2+2x+η2， 若f（x）没有极值点，则f′（x）=0最多只有1个解， ∴△=4﹣4η2≤0， 解得η≤﹣1或η≥1． ∵η～N（1，σ2），∴P（η≥1）=0.5， 又P（η＜﹣1）=0.2， ∴P（η≤﹣1或η≥1）=0.5+0.2=0.7． 故答案为：0.7． 13. 实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的最大值是　    　． 参考答案： 4 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方， ∴当动点（x，y）为A（0，2）时，z有最大值为4． 故答案为：4． 14. 直线被圆截得的弦长为             . 参考答案： 将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此。 15. 已知一组样本数据，且，平均数，则该组数据的方差为________ 参考答案： 2 【分析】 由题，先求得的值，再利用方差公式，将值带入求解即可. 【详解】由题意知， 又 = =2 故答案为：2 【点睛】本题考查了方差，熟悉平均数、方差的公式以及合理的运用是解题的关键，属于较为基础题. 16. 已知点在直线上,点Q在直线上，PQ的中点 ，且，则的取值范围是________.      参考答案： 17. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为 __________.                          参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 （１）   曲线Ｃ: 经过点Ｐ（１，２），且曲线Ｃ在点Ｐ处的切线平行于直线，求的值。 （２）   已知在区间（１,２）内存在两个极值点，求证：。 参考答案： (1)    (2)由条件可知,把相加得 ,得证. 19. 已知函数f（x）=x﹣1+（a∈R，e为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的极值； （Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值； （Ⅱ）f′（x）=1﹣，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值； （Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点?方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+，得f′（x）=1﹣， 又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣=0，解得a=e． （Ⅱ）f′（x）=1﹣， ①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna， x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值． 综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+， 则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（）=﹣1+＜0， 又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g