河北省唐山市玉田县彩亭桥中学高三数学文下学期期末试题含解析

河北省唐山市玉田县彩亭桥中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若为两个不同的平面，m、n为不同直线，下列推理: ①若； ②若直线； ③若直线m//n，； ④若平面直线n； 其中正确说法的序号是 A. ③④                               B.①③④                   C.①②③④                        D.①④ 参考答案： B 略 2. 函数的部分图象为 参考答案： A 3. 设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（   ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件      （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 若，显然不成立。由得，即，所以。若，则，满足。当时，满足，但，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A. 4. 已知幂函数f（x）=xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是（　　） A．f（﹣2）＞f（1） B．f（﹣2）＜f（1） C．f（2）=f（1） D．f（﹣2）＞f（﹣1） 参考答案： B 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】求出幂函数的解析式，根据函数的单调性判断函数值的大小即可． 【解答】解：幂函数f（x）=xn，n∈{﹣2，﹣1，1，3}的图象关于y轴对称， 则n=﹣2，则f（x）=，f（﹣2）=f（x）， 而f（x）在0，+∞）递减， ∴f（﹣2）=f（2）＜f（1）， 故选：B． 5. 已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为（     ）                        参考答案： D 略 6. 函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。 【详解】解：函数的定义域为，， 则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B， 当时，，排除A， 当时，，排除C， 故选：D. 【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。 7. 若平面向量与的夹角是180°，且，则的坐标为（  ） A. （-3，6） B. （3，-6） C. （6，-3） D. （-6，3） 参考答案： B 8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（   ） （A）   （B）160    （C）  （D） 参考答案： C 略 9. 在中,已知,则的面积是     A．           B．     　　  C．或 D． 参考答案： 【知识点】正弦定理的应用．C8  【答案解析】C  解析：在△ABC中，由余弦定理可得42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得 BC=4，或BC=8． 当BC=4时，△ABC的面积为ABBCsinB =×4×4×=4， 当BC=8时，△ABC的面积为ABBCsinB =×4×8×=8，故选C． 【思路点拨】在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由△ABC的面积为ABBCsinB 运算求得结果． 10. 已知函数f（x）在定义域R内是增函数，且f（x）＜0，则g（x）=x2f（x）的单调情况一定是（　　） A．在（﹣∞，0）上递增 B．在（﹣∞，0）上递减 C．在R上递减 D．在R上递增 参考答案： A 【考点】3E：函数单调性的判断与证明． 【分析】根据函数f（x）在定义域R内是增函数则f'（x）＞0在定义域R上恒成立，然后求出导函数g'（x），讨论x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间． 【解答】解：∵函数f（x）在定义域R内是增函数 ∴f'（x）＞0在定义域R上恒成立 ∵g（x）=x2f（x） ∴g'（x）=2xf（x）+x2f'（x） 当x＜0时，而f（x）＜0，则2xf（x）＞0，x2f'（x）＞0所以g'（x）＞0 即g（x）=x2f（x）在（﹣∞，0）上递增 当x＞0时，2xf（x）＜0，x2f'（x）＞0，则g'（x）的符号不确定，从而单调性不确定 故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014，且an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），则这样的数列{an}共有　　个． 参考答案： 252 【考点】数列的函数特性． 【专题】创新题型；排列组合． 【分析】运用数列相邻两项差的值，可能够取值的情况分类讨论，转化为排列组合问题求解． 【解答】解：∵数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014， ∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1， an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），共有7对差， 可能an+1﹣an=﹣1，或an+1﹣an=，或an+1﹣an=1． 设﹣1有x个，有y个，1有7﹣x﹣y个， 则想x（﹣1）++1×（7﹣x﹣y）=1， 即6x+2y=18，x，y∈[0，7]的整数， 可判断；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三组符合 所以共有数列C+CCC+=7+210+35=252． 故答案为：252 【点评】本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，转化能力． 12. 若函数f(x)=(a∈R)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是　   　． 参考答案： [﹣，] 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】去掉绝对值，根据f′（x）≥0，得到a的范围即可． 【解答】解：f（x）=； ∵x∈[1，2]； ∴a≤时，f（x）=，f′（x）=； 由f′（x）≥0；解得：a≥﹣≥﹣， 即﹣≤a≤时，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]上单调递增； 即a的取值范围是：[﹣，]． 故答案为：[﹣，]． 　 13. 直线与圆相交于两点（其中是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值为。 参考答案： 【知识点】直线与圆的位置关系 H4 由是直角三角形可知圆心O到直线的距离为，所以，即，令 则 . 【思路点拨】先由已知条件得出a,b满足的关系式，再利用三角换元法求最值，也可直接利用椭圆的几何性质求最值. 14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=　    　． 参考答案： 12 【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题． 15. 已知幂函数的图像经过点，则_________. 参考答案： 16. 已知函数f（x）=，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b有两个不同的零点，则a的取值范围是　　． 参考答案： 2＜a＜4 【考点】52：函数零点的判定定理． 【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围． 【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点， ∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点， 由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增， 要使函数f（x）在[0，+∞）不单调， 即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0， 可得2＜a＜4． 故答案为：2＜a＜4． 【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题． 17. 已知关于的方程的两个实根分别为，且，则的取值范围是            参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如下表所示： 数学成绩分组 [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 人数 60 400 360 100 （Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，年级将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率； （Ⅱ）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数； （III）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分． 参考答案： （Ⅰ） ；（Ⅱ）人；（III）分． 试题分析：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：，计算即得. （Ⅱ）由题意得．估计“数学学困生”人数为 ． （III）该学校本次考试的数学平均分． . 试题解析：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：， 故甲同学被抽到的概率                           …………………4分 （Ⅱ）由题意得．               ……………6分 设估计“数学学困生”人数为 ． 故估计该中学“数学学困生”人数为人              ……………………8分 （III）该学校本次考试的数学平均分． 估计该学校本次考试的数学平均分为分．               ……………12分 考点：1.分层抽样；2.平均数. 19. 已知数列满足：，，， （Ⅰ）求证：数列为等比数列；　 （Ⅱ）求使不等式成立的所有正整数的值． 参考答案： 解：（Ⅰ）由得， 则是以为首项，以为公比的等比数列    .... ……… .........4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，累加可得.........................8分   则即为：，   显然时无解，则易求得..................................................12分 注：若由得到即亦即，从而得出结果可酌情给分.   略 20. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知函数． (I)若不等式的解集为，求实数a的值； (II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围 参考答案： （Ⅰ）由得，∴，即， ∴，∴。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,令， 则， ∴的最小值为4，故实数的取值范围是。 21. （本小题满分12分）     已知函数f(x)=lnx-kx  (k∈R). (I)求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)若函数f(x)有零点，求实数k的取值范围； (Ⅲ)设函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，若x1·x2>em恒成立，求实数m的取值范围     （其中e为自然对数的底数）． 参考答案： 22. 如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）．PM⊥平面ABCD交AD于点M，MN⊥BD于点N． （1）设AP=x，将PN长表示为x的函数； （2）当PN