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福建省福州市福清元樵中学高一数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 函数f(x)和g(x)的定义域均为R,“f(x),g(x)都是奇函数”是“f(x)与g(x)的积是偶函数”的 ( )
(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
参考答案:
A
略
3. 若x>0,则函数与y2=logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系上的部分图象只可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【分析】结合指数函数和对数函数的图象和性质,分析出当a>1时,两个函数的图象形状,可得答案.
【解答】解:当a>1时,
函数为增函数,且图象过(0,﹣1)点,向右和x轴无限接近,
函数y2=logax(a>0,且a≠1)为增函数,且图象过(1,0)点,向左和y轴无限接近,
此时答案B符合要求,
当0<a<1时,
函数为减函数,且图象过(0,﹣1)点,
函数y2=logax(a>0,且a≠1)为减函数,且图象过(1,0)点,向左和y轴无限接近,
此时无满足条件的图象.
故选:B
【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键.
4. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为2:3:5,现用分层抽样的方法抽出样本容量为80的样本,那么应当从A型产品中抽出的件数为
A. 16 B. 24 C. 40 D. 160
参考答案:
A
5. 在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为,塔基的俯角为,那么这座塔吊的高是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 已知等比数列{}中,各项都是正数,且,成等差数列,则( )
(A) (B) (C) (D)1
参考答案:
C
略
7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为:P=P0e﹣kt,(k,P0均为正的常数).若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放.
A.小时 B.小时 C.5小时 D.10小时
参考答案:
C
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【分析】先利用函数关系式,结合前5个小时消除了90%的污染物,求出常数k的值,然后根据指数非常,即可求出结论.
【解答】解:由题意,前5个小时消除了90%的污染物,
∵P=P0e﹣kt,
∴(1﹣90%)P0=P0e﹣5k,
∴0.1=e﹣5k,
即﹣5k=ln0.1
∴k=﹣ln0.1;
则由10%P0=P0e﹣kt,
即0.1=e﹣kt,
∴﹣kt=ln0.1,
即(ln0.1)t=ln0.1,
∴t=5.
故选:C
8. 的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
9. 设>0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是
A. B. C. D. 3
参考答案:
C
函数的图象向右平移个单位后 所以有
故选C
10. 函数的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】幂函数的图象.
【分析】利用函数定义域、单调性对选项进行排除即可.
【解答】解:因为函数的定义域是[0,+∞),所以图象位于y轴右侧,排除选项C、D;
又函数在[0,+∞)上单调递增,所以排除选项B.
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的值是_________.
参考答案:
略
12. 设,,求和:__________.
参考答案:
见解析
当时,,
当时,,
当,且时
,
∴.
13. 已知函数y=cos2x+2cos(x+),则y的取值范围是 .
参考答案:
[﹣3,]
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】利用二倍角,诱导公式化简,转化为二次函数即可求y的取值范围.
【解答】解:函数y=cos2x+2cos(x+)=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2(sin2x+sinx+)+=﹣2(sinx+)2.
当sinx=时,y可取得最大值为.
当sinx=1时,y可取得最小值为sinx==﹣3.
则y的取值范围是[﹣3,].
故答案为:[﹣3,].
14. 已知集合满足:若,当时,集合__________。(用列举法写出集合中的元素)
参考答案:
15. 102,238的最大公约数是________.
参考答案:
34
略
16. 已知的两直角边长分别为、,斜边长为,则直线与圆的位置关系是 。
参考答案:
相切
略
17. 设R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当0≤x≤2时,f(x)=x2﹣2x,则当x∈[﹣4,﹣2]时,f(x)的最小值是 .
参考答案:
﹣
【考点】二次函数的性质;函数的值域.
【分析】定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),可得出f(x﹣2)=f(x),由此关系求出求出x∈[﹣4,﹣2]上的解析式,再配方求其最值.
【解答】解:由题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),
任取x∈[﹣4,﹣2],则f(x)=f(x+2)=f(x+4)
由于x+4∈[0,2],当x∈[0,2]时,f(x)=x2﹣2x,
故f(x)=f(x+2)
=f(x+4)
= [(x+4)2﹣2(x+4)]
= [x2+6x+8]= [(x+3)2﹣1],x∈[﹣4,﹣2]
当x=﹣3时,f(x)的最小值是﹣.
故答案为:﹣.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50),[50,60),…,[90,100]),
(1)求成绩在[70,80)的频率,并补全此频率分布直方图;
(2)求这次考试平均分的估计值;
(3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人,求他们的成绩在同一分组区间的概率.
参考答案:
见解析
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.
【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】(1)利用频率分布直方图的意义可得:第四小组的频率=1﹣(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10.
(2)利用频率分布直方图的意义可得:平均数=(45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005)×10.
(3)[40,50)与[90.100]的人数分别是3和3,所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人,将[40,50]分数段的6人编号为A1,A2,A3,将[90,100]分数段的3人编号为B1,B2,B3,从中任取两人,可得基本事件构成集合Ω共有36个,其中,在同一分数段内的事件所含基本事件为6个,利用古典概率计算公式即可得出.
【解答】解:(1)第四小组的频率=1﹣(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10=0.25.
(2)依题意可得:平均数=(45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005)×10=72.5,
(3)[40,50)与[90,100]的人数分别是3和3,所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人,将[40,50]分数段的6人编号为A1,A2,A3,将[90,100]分数段的3人编号为B1,B2,B3,从中任取两人,则基本事件构成集合Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)}共有15个,其中,在同一分数段内的事件所含基本事件为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共6个,故概率P==.
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用、列举法求古典概率及其计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程的两个根,且。
求:(1)角C的度数; (2)AB的长度。
参考答案:
解析:(1)
C=120°
(2)由题设:
20. 如图,矩形草坪AMPN中,点C在对角线MN上.CD垂直于AN于点D,CB垂直于AM于点B,|CD|=|AB|=3米,|AD|=|BC|=2米,设|DN|=x米,|BM|=y米.求这块矩形草坪AMPN面积的最小值.
参考答案:
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】由题意,表示出矩形的面积,利用基本不等式,即可求得结论.
【解答】解:由题意….
SAMPN=(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6=12+3x+2y….
….
当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时取得等号.….
面积的最小值为24平方米. ….
21. 已知,m是实常数,
(1)当m=1时,写出函数f(x)的值域;
(2)当m=0时,判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;
(3)若f(x)是奇函数,不等式f(f(x))+f(a)<0有解,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】综合题;方程思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)当m=1时,结合指数函数的单调性即可写出函数f(x)的值域;
(2)当m=0时,根据函数奇偶性的定义即可判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;
(3)根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可.
【解答】解:(1)当m=1时,,定义域为R,
,,
即函数的值域为(1,3).…
(2)f(x)为非奇非偶函数.…
当m=0时,,
因为f(﹣1)≠f(1),所以f(x)不是偶函数;
又因为f(﹣1)≠﹣f(1),所以f(x)不是奇函数;
即f(x)为非奇非偶函数.…
(3)因为f(x)是奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,即对x∈R恒成立,
化简整理得,即m=﹣1.…
(若用特殊值计算m,须验证,否则,酌情扣分.)
下用定义法研究的单调性:
设任意x1,x2∈R,且x1
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