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河北省廊坊市安头屯中学高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},从A到B的对应法则f不是映射的是( ).
A. f:x→y=x B. f:x→y=x C. f:x→y=x D. f:x→y=x
参考答案:
A
试题分析:对A,当时,而.故选A.
考点:映射的概念
2. 满足条件的集合的个数是( )
A.8 B.7 C.6 D.5
参考答案:
C
略
3. 过点的直线与圆有公共点,则直线倾斜角的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
4. 设全集U=Z,集合A={x|1≤x<7,x∈Z},B={x=2k﹣1,k∈Z},则A∩(?UB)=( )
A.{1,2,3,4,5,6} B.{1,3,5} C.{2,4,6} D.?
参考答案:
C
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据求出B的补集,找出A与B补集的交集即可.
【解答】解:全集U=Z,集合A={x|1≤x<7,x∈Z}={1,2,3,4,5,6}
B={x=2k﹣1,k∈Z},
∴?uB={x=2k,k∈Z},
∴A∩(?uB)={2,4,6},
故选:C.
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
5. 在中,若,则的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
参考答案:
C
6. 公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且﹣2a1,﹣成等差数列,若a1=1,则S4=( )
A.﹣5 B.0 C.5 D.7
参考答案:
A
【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.
【分析】设公比q不为1的等比数列{an},运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式,解方程可得公比q,再由等比数列的求和公式计算即可得到所求和.
【解答】解:设公比q不为1的等比数列{an},
﹣2a1,﹣成等差数列,
可得﹣a2=﹣2a1+a3,
若a1=1,可得﹣q=﹣2+q2,
解得q=﹣2(1舍去),
则S4===﹣5.
故选:A.
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项的性质,考查运算能力,属于中档题.
7. “吸烟有害健康”,那么吸烟与健康之间存在什么关系( )
A.正相关 B.负相关 C.无相关 D.不确定
参考答案:
略
8. 过点 (1,2),且与原点距离最大的直线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
解析: 由分析可知当直线过点且与垂直时原点到直线的距离最大.因为,所以,所以所求直线方程为,即.
9. 判断:(1)函数y=-2x的图像与y=2x的图像关于y轴对称; (2)与y=2x的关于直线对称; (3) y=2x图像与的图像关于轴对称 (4)函数的图像关于坐标原点对称. 其中正确的是( )
(A)(1),(2),(3) (B)(2),(3) (C)(1),(2) (D)(2),(4)
参考答案:
D
10. 若函数对任意实数,都有,记,则( )
A. B. C. D.1
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (1)(极坐标与参数方程)曲线: 与曲线: ,的交点的极坐标为____________.
参考答案:
(1)(0,0),,
12. (5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=AB=AA1,且异面直线AC1与A1B所成的角为60°,则∠CAB等于 .
参考答案:
90°
考点: 异面直线及其所成的角.
专题: 空间角.
分析: 由已知条件,构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1,由此能求出∠CAB=90°.
解答: 解:由已知条件,构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1,
满足条件AC=AB=AA1,
且异面直线AC1与A1B所成的角为60°,
∴∠CAB=90°.
故答案为:90°.
点评: 本题考查异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.
13. 若直线与互相垂直,则点到轴的距离为 .
参考答案:
或
略
14. 函数y=的最大值是______.
参考答案:
4
15. 已知⊙:,直线,则在⊙上任取一点,该点到直线的距离不小于的概率是 .
参考答案:
16. 若方程在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=________.
参考答案:
-3
略
17. 设P是曲线y2=4(x-1)上的一个动点,则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和
的最小值为________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点,
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
参考答案:
【考点】点到直线的距离公式;两条直线的交点坐标.
【专题】数形结合;待定系数法.
【分析】(1)直线方程为(2x+y﹣5)+λ(x﹣2y)=0,根据点A(5,0)到l的距离为3,建立方程解出 λ值,即得直线方程.
(2)先求出交点P的坐标,当l⊥PA时,点A(5,0)到l的距离的最大值,故最大值为|PA|.
【解答】解:(1)经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x+y﹣5)+λ(x﹣2y)=0,即(2+λ)x+(1﹣2λ)y﹣5=0,
∵点A(5,0)到l的距离为3,∴=3.
即 2λ2﹣5λ+2=0,∴λ=2,或λ=,∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0.
(2)由解得,交点P(2,1),如图,
过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤|PA|
(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax=|PA|=.
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程,求两直线的交点的坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,体现了数形结合的数学思想.
19. 设集合,,.
(1)求.
(2)若,求t的取值范围.
参考答案:
见解析.
(),, 所以.
()因为,所以,
若是空集,则,得到,
若非空,则,得,
综上所述,,即的取值范围是.
20. 已知函数
(1)求函数的值域;
(2)若时,函数的最小值为,求的值和函数 的最大值.
参考答案:
解:(1)令,则
∴
∴,即函数的值域为 …………5分
(2)
所以在上是减函数∴
∴或(舍去)
当时有最大值,
即 …… 12分
21. (本小题满分12分)扬州某公司生产的新产品的成本是2元/件,售价是3元/件,年销售量为10万件,为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x(万元)时,产品的销售量将是原销售量的y倍,且y是x的二次函数,它们的关系如下表:
x
…
1
2
…
5
…
y
…
1.5
1.8
…
1.5
…
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如果利润=销售总额-成本费-广告费,试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式;并求出当广告费x为多少万元时,年利润S最大.
参考答案:
(1)由于y是x的二次函数,所以可设函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)(x≥0);由于点(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函数图象上,所以
所以所求函数的解析式为.
(2)当投入广告费x万元时,产品的销量是10y万件,成本2元/件,售价3元/件,每件获得利润1元,共获利10y(3-2)=10y万元,由题意得
=-x2+5x+10=-(x-)2+ (x≥0).
当x=时,Smax=.
即当投入2.5万元广告费时,年利润最大.
22. 在区间上,如果函数为增函数,而函数为减函数,则称函数为“弱增”函数.试证明:函数在区间(0,1]上为“弱增”函数.
参考答案:
证明:设任意,且,
由于,
所以在区间上,为增函数. ……………………… 5分
令,则有:. ……… 8分
由于,则且,
故.
故在区间上,函数为减函数. …………………10分
由“弱增”函数的定义可知,函数在区间上为“弱增”函数. …12分
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