2022-2023学年辽宁省沈阳市肇工第一高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市肇工第一高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　) A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. 全不正确 参考答案： C 【分析】 不是正弦函数，故小前提错误. 【详解】因为不是正弦函数,所以小前提不正确. 故选C. 【点睛】演绎推理包含大前提、小前提和结论，只有大前提、小前提都正确时，我们得到的结论才是正确的，注意小前提是蕴含在大前提中的. 2. 椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(     ) A. （0，]  B.（0，]   C. [，1）  D. [，1） 参考答案： D 略 3. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过右焦点 的直线交双曲线的右支于两点A、B，且有 ，若 的周长为12，则双曲线的离心率为  (    )   A．      B．   C．     D.2 参考答案： D 4. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为（  ） A.              B.          C.          D. 参考答案： A 略 5. 已知是不同的直线，是不同的平面，则“”的一个充分不必要条件是（  ） A．，       B．，     C．，   D．， 参考答案： A 略 6. 设、是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且，则此椭圆的离心率是（     ） A.                B.              C.              D. 参考答案： D 略 7. 抛物线的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合，则=（    ） A. 1       B. 2        C. 4               D. 8 参考答案： C 8. 已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（    ） （A）x+5y-15=0   (B)x=3      (C) x-y+1=0     (D)y-3=0 参考答案： A 9. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 参考答案： A 【分析】 由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率的方程即可． 【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直，∴， ，，∴． 故选A． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础． 10. 已知数列中， ,则等于   A．36 B．38 C．40   D．42 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点且与相切的直线方程为          ． 参考答案： 12. 已知双曲线C的离心率为2，左右焦点分别为、，点A在C上，若，则               ． 参考答案：     13. 若在区域内任取一点P，则点P落在圆x2+y2=2内的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型；简单线性规划． 【专题】数形结合；概率与统计；不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应区域的面积，根据几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：不等式组对应的平面区域为三角形OAB，其中A（8，0），B（0，2），对应的面积为S=， x2+y2=2表示的区域为半径为的圆在三角形OAB内部的部分，对应的面积为， ∴根据几何概型的概率公式，得到所求对应概率P==． 故答案为：． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式，利用二元一次不等式组表示平面区域求出对应的面积是解决本题的关键． 14. 函数在其极值点处的切线方程为____________． 参考答案： 15. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=_______。 参考答案： 8 16. 设实数满足 ，则的最大值为             ． 参考答案： 略 17. 直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1,0)对称，则a＋b＝________. 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍． （Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程； （Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程． 【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m的斜率可求． 【解答】解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则 |x﹣4|=2，即（x﹣4）2=4， 整理得． 所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为； （Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2． 椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在． 设直线m的方程为：y=kx+3． 联立， 整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0． ． 因为2x1=x2． 则，得， 所以． 即，解得． 所以，直线m的斜率． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题． 19. 已知数列的前n项和为，且． （Ⅰ）求数列通项公式； （Ⅱ）若，，求证数列是等比数列，并求数列的前项和． 参考答案： 略 20. （本小题满分10分） （1）求函数在处的切线方程； （2），证明不等式 参考答案： 解：切点P（0,1）所以，切线方程为 （2）设则由得由得由得所以在上是减函数，在上是增函数函数，在处取得最小值，即 所以 21. （本小题满分14分）已知椭圆的两焦点为，，离心率。 （Ⅰ）求此椭圆的方程。 （Ⅱ）设直线与椭圆交于P,Q两点，且的长等于椭圆的短轴长，求的值。 （Ⅲ）若直线与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程。 参考答案： 解：（Ⅰ ）   所以，椭圆的方程为：。 （Ⅱ） 得到关于的方程： 由△　　　　　　　解得： 设P，Q　　　　　， 　　　　　　所以： （Ⅲ）设M，N，MN的中点为P 又 即 因为P在椭圆内部，可求得 所以线段MN的中点P的轨迹方程为（） 略 22. 解关于的不等式： 参考答案： 解：若，原不等式        2 若，原不等式或      4 若，原不等式         6 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 （1）当时，式的解集为；       8[ （2）当时，式；       10 （3）当时，式.        12 综上所述，不等式的解集为： ①当时，{}； ②当时，{}； ③当时2，{}； ④当时，； ⑤当时，{}.         14   略