河南省焦作市孟州河雍办事处逸夫中学高三数学理上学期期末试题含解析

河南省焦作市孟州河雍办事处逸夫中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合 A. B. C. D. 参考答案： B 2. 已知三棱锥P-ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的体积为 A．  　　B. 　　 C.    　　D. 参考答案： A 3. 双曲线中，F2为其右焦点，A1为其左顶点，点B(0，b)在以A1F2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为(    )    A．    B．    C.   D． 参考答案： D 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接   球的表面积为   A．     B．   C．      D． 参考答案： D 5. 若点是的外心，且，，则实数的值为        A．          B．                     C．         D． 参考答案： C 取AB中点D，则,则P,D,C三点共线，用几何性质得D为PC中点,故选C 6. 已知点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为（　　） 　 A． y=±x B． y=±x C． y=±x D． y=±x 参考答案： A 考点： 双曲线的简单性质．  专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 通过点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上及双曲线C的焦距为12，可得、a2+b2=36，计算即得结论． 解答： 解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上， ∴，① 又∵双曲线C的焦距为12， ∴12=2，即a2+b2=36，② 联立①、②，可得a2=16，b2=20， ∴渐近线方程为：y=±x=±x， 故选：A． 点评： 本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题． 7. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．169石 B．192石 C．1367石 D．1164石 参考答案： B 【考点】简单随机抽样． 【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石， 故选：B． 8. 已知集合，则（    ） A．  B．  C．  D． 参考答案： A 略 9. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）－g（x）在x∈ [a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为 “关联区间”．若f（x）=x2－3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是   A．   B．[-1，0]    C．   D． 参考答案： A 略 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为(      )     A.5π B.12π C.20π D.8π 参考答案： 【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积  G1  G2 【答案解析】A  解析：由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，1， 它的外接球的直径就是长方体的对角线的长， 所以长方体的对角线长为：， 所以球的半径为：， 这个几何体的外接球的表面积是：， 故选：A 【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥。把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B．现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是   ▲   参考答案： 略 12. 记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题： ①当时，数列的前3项依次为5,3,2； ②对数列都存在正整数，当时总有； ③当时，； ④对某个正整数，若，则。 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）   参考答案： ①③④ 当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.   13. 如图，在中，，点P是BN上一点，若则实数值为            参考答案： 略 14. 设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+211，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+L+a100的值是____. 参考答案： 解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4， 相减，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+211，得an+4=an． 又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4． ∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200． 15. （5分）偶函数f（x）的定义域为R，当x∈，则函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）； ③函数y=在（﹣∞，0）上是增函数； ④方程2|x|=log2（x+2）+1的实根的个数是2． 所有正确命题的序号是        （请将所有正确命题的序号都填上） 参考答案： ③④ 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 计算题；函数的性质及应用；集合． 分析： 当k=0时，A={﹣1}，即可判断①； 由函数的定义域的定义，以及指数函数的单调性即可解得f（x）的定义域，即可判断②； 通过函数y=的图象的平移和单调性即可判断③； 运用函数与方程的转换，作出函数的图象，通过观察即可判断方程根的个数，即可判断④． 解答： 解：对于①，当k=0时，A={﹣1}，也符合题意，则①错； 对于②，函数y=f（3x）的定义域为，即有﹣1≤x≤1，则， 则y=f（x）的定义域应该是，则②错； 对于③，y=的图象可由函数y=的图象向右平移1个单位得到， 由于y=在（﹣∞，0）递增，则y=在（﹣∞，1）递增，则③对； 对于④，在同一坐标系中作出y=2|x|，y=log2（x+2）+1的图象， 由图可知有两个交点．故方程的实根的个数为2．则④对． 故答案：③④． 点评： 本题考查函数的定义域的求法和单调性的判断，以及函数与方程的转化思想，考查集合的化简，属于基础题和易错题． 16. 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为   ▲   ． 参考答案： 7 略 17. 函数的部分图像如图所示，          . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）． （1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； （2）若对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法；函数的值域． 【专题】计算题；转化思想． 【分析】（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f（x）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可； （2）将a与2进行比较，将条件“对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4”转化成对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有f（x）max﹣f（x）min≤4恒成立即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1）， ∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a]， ∴， 即，解得a=2． （2）若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）﹣a≤a﹣1 ∴f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2． ∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4， ∴f（x）max﹣f（x）min≤4，即（6﹣2a）﹣（5﹣a2）≤4，解得﹣1≤a≤3， 又a≥2，∴2≤a≤3． 若1＜a＜2，fmax（x）=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（a）=5﹣a2， f（x）max﹣f（x）min≤4显然成立，综上1＜a≤3． 【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，同时考查了转化与划归的数学思想，属于中档题之列． 19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点． （1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF； （2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明B1F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B1F⊥平面ADF； （2）若FD⊥B1D，则Rt△CDF∽Rt△BB1D，可求DF，即可求三棱锥B1﹣ADF体积． 【解答】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC． 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵B1B⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥B1B． ∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1． ∵B1F?平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=1，B1C1=CF=2， ∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1． ∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，∴B1F⊥FD． ∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面ADF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）解：∵AD⊥面B1DF，， 又，CD=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵FD⊥B1D，∴Rt△CDF∽Rt△BB1D， ∴． ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. 已知关于的不等式的解集为 （1）当时，求集合M; （2）当且时，求实数的取值范围. 参考答案： 略 21. 本小题满分15分）如图，已知圆经过椭圆的右焦点F及上顶点B．过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C、D两点．    （1）求椭圆的方程；    （2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求的取值范围．   参考答案： 解：（1）∵圆G：经过点F、B． ∴F（2，0），B（0，），  ∴，． ∴．故椭圆的方程为．      …………………5分     （2）设直线的方程为．     由消去得．                   由△=，解得．     又，．                                             设，，     则，，     ∴．     ∵，，     ∴=                              =．                                                     ∵