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河北省保定市雄县昝岗中学高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足的所有之和为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 函数y=x3cosx,x∈(﹣,)的大致图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】函数的图象.
【专题】计算题;数形结合;函数的性质及应用.
【分析】令f(x)=x3cosx,从而可判断函数f(x)是奇函数且当x∈(0,)时,f(x)>0,从而解得.
【解答】解:令f(x)=x3cosx,
故f(﹣x)=(﹣x)3cos(﹣x)=﹣x3cosx=﹣f(x),
故函数f(x)是奇函数,
又∵当x∈(0,)时,f(x)>0,
故选:A.
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,同时考查了数形结合的思想应用.
3. 由抛物线与直线所围成的图形的面积是( ).
A. 4 B. C. 5 D.
参考答案:
B
解得x=1,y=﹣1或x=4,y=2,即交点坐标为(1,﹣1),(4,2)
∴图中阴影部分的面积是.
4. 若实数a、b满足条件a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.< B.a2>b2 C.ab>b2 D.a3>b3
参考答案:
D
【分析】根据题意,由不等式的性质依次分析选项,综合即可得答案.
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于A、a=1,b=﹣1时,有>成立,故A错误;
对于B、a=1,b=﹣2时,有a2<b2成立,故B错误;
对于C、a=1,b=﹣2时,有ab<b2成立,故C错误;
对于D、由不等式的性质分析可得若a>b,必有a3>b3成立,则D正确;
故选:D.
5. 设集合,,则下述对应法则中,不能构成A到B的映射的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
6. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出S的结果是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 程序框图.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 根据题意,该程序框图的意图是求S=1+++的值,由此不难得到本题的答案.
解答: 解:由题意,k、S初始值分别为1,0.当k为小于5的正整数时,用S+的值代替S,k+1代替k,
进入下一步运算.由此列出如下表格
因此,最后输出的s=1+++=
故选:C
点评: 本题给出程序框图,求最后输出的s值,着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识,属于基础题.
7. 已知集合P={(x,y)| x + y=3},集合Q={(x,y)|x-y=5},那么P∩Q=
A.{(4,-1)} B.(4,-1) C.{4、-1} D.
参考答案:
A
8. 把函数的图象向右平移1个单位,再向上平移3个单位,后将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变所得图象的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 设,满足,当时,则的值域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则下列式子正确的是( )
A.M?N B.N?M C.M∩N={2,3} D.M∪N={1,4}
参考答案:
C
【考点】集合的表示法.
【分析】利用集合与集合间的基本关系与基本运算判断即可.
【解答】解:∵1∈M,1?N,
∴M?N不正确;
同理知N?M不正确;
∵M={1,2,3},N={2,3,4},
∴M∩N={2,3},
M∪N={1,2,3,4};
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的表面积是4π,则这个三棱柱的体积是 .
参考答案:
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 如图所示,设球心为O,上下底面的中心分别为O1,O2,球O与三个侧面相切的切点分别A,B,C.设球的半径为R,由球的表面积是4π,可得4πR2=4π,R=1.可得O1O2=2,为三棱柱的高.在等边三角形中,由OA=OB=OC=1,可得AB,可得三棱柱的底面边长=2AB.利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S,即可得出三棱柱的体积.
解答: 如图所示,
设球心为O,上下底面的中心分别为O1,O2,球O与三个侧面相切的切点分别A,B,C.
设球的半径为R,∵球的表面积是4π,∴4πR2=4π,
解得R=1.∴O1O2=2,为三棱柱的高.
在等边三角形中,由OA=OB=OC=1,可得AB==,
可得三棱柱的底面边长=.
∴三棱柱的底面面积S==3.
∴这个三棱柱的体积=S?O1O2=6.
故答案为:6.
点评: 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.
12. 已知函数f(x)的定义域是[1,5],则的定义域是________
参考答案:
[1,3]
13. 某单位200名职工的年龄分布情况如图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组(1-5号,6-10号…,196-200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取 人.
图 2
参考答案:
37, 20
略
14. 如图,给出幂函数在第一象限内的图象,取四个值,则相应于曲线的依次为_ .
参考答案:
15. 已知角α的终边过点P(3,4),则= .
参考答案:
﹣
【考点】GO:运用诱导公式化简求值;G9:任意角的三角函数的定义.
【分析】由题意可得x,y,r,由任意角的三角函数的定义可得sinα,利用诱导公式化简所求求得结果.
【解答】解:∵由题意可得x=3,y=4,r=5,
由任意角的三角函数的定义可得sinα==,
∴=﹣sinα=﹣.
故答案为:﹣.
16. 用过球心的平面将一个球分成两个半球,则一个半球的表面积与原来整球的表面积之比为 。
参考答案:
3:4
略
17. 如图,直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长,则异面直线与的夹角大小等于 .
参考答案:
60°
由直四棱柱的底面是边长为1的正方形,侧棱长可得由知就是异面直线与的夹角,且,所以=60°,即异面直线与的夹角大小等于60°.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知圆C的圆心在直线上,并且经过点A(1,4)和B(3,2).
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l过点D(1,0)与圆C相交于P、Q两点,求的面积的最大值,并求此时直线l的方程.
参考答案:
解:(Ⅰ)法一:设圆的方程为
由题意有,解得
故圆的方程为.……………………………6分
法二:由点和可求得直线的垂直平分线方程为
与直线方程联立解得圆心
则圆的半径
故圆的方程为.……………………………6分
(Ⅱ)法一:直线与圆相交,∴直线的斜率一定存在且不为0,设直线的方程为
即,则圆心到直线的距离为.……………………………8分
又∵的面积
∴当时,取最大值2.由或
∴直线的方程为或.……………………………12分
法二:设圆心到直线的距离为d
则的面积(时取等号)
以下同法一.
法三:面积,当,即时取等号,
此时为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为,
以下同法一.
19. 已知函数.
(1)求函数的定义域及其单调减区间.
(2)求函数的值域.
参考答案:
()定义域为,单调递减区间为.
().
解:()∵
,
∵
,即单调递减区间为,
∵中,,
定义域为.
()∵,
∴.
20. (14分)已知:以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.
(Ⅰ)当t=2时,求圆C的方程;
(Ⅱ)求证:△OAB的面积为定值;
(Ⅲ)设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N,若,求圆C的方程。
参考答案:
(1)圆的方程是
(2),.设圆的方程是
令,得;令,得
,即:的面积为定值.
(3)垂直平分线段.
,直线的方程是.,解得:
当时,圆心的坐标为,, 此时到直线的距离,
21. (本小题满分12分)
如图ABCD—A1B1C1D1是正方体, M、N分别是线段AD1和BD上的中点
(Ⅰ)证明: 直线MN∥平面B1D1C;
(Ⅱ)设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为,若以为坐标原点,分别以所在的直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,试写出B1、M两点的坐标,并求线段B1M的长.
参考答案:
(本小题满分12分)
本题主要考查空间线线、线面、面面位置平行关系转化,空间直角坐标系的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。
证明:(Ⅰ)证明:连结CD1、AC、则N是AC的中点 …2分
在△ACD1,又M是A D1的中点
∴MN∥CD1 ,又CD1 平面ACD1. …………………6分
. ……………………8分
(Ⅱ)B1(a,a,a),M(,0,)…………………10分
……………………12分
略
22. 数列{满足:
证明:(1)对任意为正整数;
(2)对任意为完全平方数.
参考答案:
证明:(1)由题设得且{严格单调递增,将条件式变形得,
两边平方整理得 ①
②
①-②得
③
由③式及可知,对任意为正整数.……………………10分
(2)将①两边配方,得。 ④
记
从而
④式成立.
是完全平方数.……………………20分
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