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河南省洛阳市英语学校2022-2023学年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在区间[0,5]内随机选一个数,则它是不等式log2(x﹣1)<1的解的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】CF:几何概型.
【分析】由,得不等式log2(x﹣1)<1的解集为(1,3),利用几何概型的概率计算公式可得答案
【解答】解:由,得不等式log2(x﹣1)<1的解集为(1,3),
∴在区间[0,5]内随机选一个数,则它是不等式log2(x﹣1)<1的解的概率是P=,
故选:C.
【点评】本题考查了几何概型的概率计算公式,属于中档题.
2. 已知,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据同角三角函数关系可求得;由二倍角的正切公式可求得结果.
【详解】,
本题正确选项:C
【点睛】本题考查二倍角的正切公式、同角三角函数关系的应用,属于基础题.
3. 函数的周期是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. (5分)已f(x)=2sin(x+),f(x)的最小正周期是()
A. 2 B. 4π C. 2π D. 4
参考答案:
D
考点: 三角函数的周期性及其求法.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 由条件根据y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T=,可得结论.
解答: f(x)=2sin(x+)的最小正周期为=4,
故选:D.
点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了y=Asin(ωx+φ)的周期等于 T=,属于基础题.
5. 数列的通项公式是,若前n项的和为,则项数n为,
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
略
6. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.9B.10C.11D.
参考答案:
C
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上,
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的,运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案.
【解答】解:.由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上,
截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的,V三棱锥==1,
所以V=4×3﹣1=11.
故选:C
7. 已知向量与的夹角为120°,且,那么的值为 ( )
A.1 B. -1 C.±1 D.0
参考答案:
D
8. 一只虫子从点O(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( )
A. B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
12.已知向量(其中为坐标原点),则向量与夹角的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 函数,满足 ( )
A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数
C.是奇函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列关于函数与的命题中正确的结论是______.
①它们互为反函数;②都是增函数;③都是周期函数;④都是奇函数.
参考答案:
④
【分析】
利用反函数,增减性,周期函数,奇偶性判断即可
【详解】①,当时,的反函数是,故错误;
②,当时,是增函数,故错误;
③,不是周期函数,故错误;
④,与都是奇函数,故正确
故答案为:④
【点睛】本题考查正弦函数及其反函数的性质,熟记其基本性质是关键,是基础题
12. 在等差数列{an}中,已知,那么它的前8项和= ▲ .
参考答案:
8;
13. 若函数有最小值,则a的取值范围是______.
参考答案:
1<a<2
令,
(1)当时,函数单调减少,而函数没有最大值,则函数没有最小值;
(2)当时,函数单调增加,当且仅当时,函数有最小值,因此,可得:
综上,
14. (5分)如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则?的取值范围是 .
参考答案:
[-5,5]
考点: 平面向量数量积的运算.
分析: 如图所示:设∠PAB=θ,作OM⊥AP,则∠AOM=θ,求得AP=2AM=10sinθ,可得=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ,由此求得?的取值范围.
解答: 如图所示:设∠PAB=θ,作OM⊥AP,则∠AOM=θ,
∴sinθ=,AM=5sinθ,AP=2AM=10sinθ.
∴=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈,
故答案为:.
点评: 本题主要考查了向量的数量积的定义,弦切角定理及三角函数的定义的综合应用,试题具有一定的灵活性,属于中档题.
15. 已知数列{an},{bn}满足,且,是函数的两个零点,则___,____.
参考答案:
4 64
【分析】
根据方程的根与系数的关系,得到,进而得,两式相除,得到,得出成等比数列,成等比数列,利用等比数列的通项公式,即可求解,得到答案.
【详解】由题意可知,是函数的两个零点,
则,所以,
两式相除可得,
所以成等比数列,成等比数列,
又由,则,
所以,,,
所以.
【点睛】本题主要考查了方程的根与系数的关系,以及等比数列的判定,以及等比数列的通项公式的应用,其中解答中利用根与系数的关系,递推得到数列间隔项构成等比数列是解答的关键,着重考查了转化、构造思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.
16. 函数的图像恒过的点是______________
参考答案:
(1,-1)
17. 在半径为1的圆周上有一定点A,以A为端点任作一弦,另一端点在圆周上等可能的选取,则弦长超过1的概率为 .
参考答案:
考点: 几何概型.
专题: 计算题;概率与统计.
分析: 找出满足条件弦长超过1,所对的圆心角,再代入几何概型计算公式求解.
解答: 解:在半径为1的圆周上有一定点A,以A为端点任作一弦,另一端点在圆周上等可能的选取,弦长等于1,所对的圆心角为,
∴弦长超过1,所对的圆心角为,
∴弦长超过1的概率为=.
故答案为:.
点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义,几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列中,,,通项是项数的一次函数,
①求的通项公式,并求;
②若是由组成,试归纳的一个通项公式.
参考答案:
解析:设,则,解得,∴,∴,
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.
19. 已知直线:,(不同时为0),:,
(1)若且,求实数的值;
(2)当且时,求直线与之间的距离
参考答案:
的方程为:即,…………11分
则它们之间的距离为.…………12分
20. 证明:函数是偶函数,且在上是减少的。(本小题满分12分)
参考答案:
略
21. (1) (2)
参考答案:
22. (1) ;
(2).
参考答案:
解 :(1) 原式=== .
(2) 原式 = .
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