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四川省资阳市雁江区石岭中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (2016?沈阳一模)将3本相同的小说,2本相同的诗集全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有( )
A.24种 B.28种 C.32种 D.36种
参考答案:
B
【考点】排列、组合的实际应用.
【专题】计算题;分类讨论;转化法;排列组合.
【分析】分三类,有一个人分到一本小说和一本诗集,有一个人分到两本诗集,有一个人分到两本小说,根据分类计数原理可得.
【解答】解:第一类:有一个人分到一本小说和一本诗集,这中情况下的分法有:先将一本小说和一本诗集分到一个人手上,有4种分法,将剩余的2本小说,1本诗集分给剩余3个同学,有3种分法,那共有3×4=12种
第二类,有一个人分到两本诗集,这种情况下的分法有:先将两本诗集分到一个人手上,有4种情况,将剩余的3本小说分给剩余3个人,只有一种分法.那共有:4×1=4种,
第三类,有一个人分到两本小说,这种情况的分法有:先将两本小说分到一个人手上,有4种情况,再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人,有3种分法.那共有:4×3=12种,
综上所述:总共有:12+4+12=28种分法,
故选:B.
【点评】本题考查了分类和分步计数原理,关键是分类,属于中档题.
2. 利用导数,可以判断函数在下列哪个区间内是增函数 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
3. 设全集,则=( )
A.[1,3) B. (1,3] C.(1,3) D.(-2,1]
参考答案:
A
4. 已知,则|z|=( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】复数求模.
【专题】转化思想;定义法;数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵ =﹣=﹣,
∴z=.
则|z|==.
故选:D.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5. 如图,在中,为线段上靠近的三等分点,点在上且,则实数的值为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
D
6. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了割圆术。利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率。如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n值为(参考数据:=1.732,)
A 12 B 24 C 36 D48
参考答案:
B
n=6,s=2.598
n=12,s=3
n=24,s=3.1056结束循环
输出n=24
7. 设又是一个常数,已知当或时,只有一个实根,当时,有三个相异实根,给出下列命题:
①和有一个相同的实根;
②和有一个相同的实根;
③的任一实根大于的任一实根;
④的任一实根小于的任一实根;
其中正确命题的个数为 ( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
答案:A
8. 的内角满足条件:且,则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 根据历年统计资料,我国东部沿海某地区60周岁以上的老年人占0.2,在一个人是60周岁以上的条件下,其患高血压的概率为0.45,则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是( )
A.0.45 B.0.25 C.0.09 D.0.65
参考答案:
C
10. 设a=60.7,b=0.76,c=log0.76,则a,b,c这三个数的大小关系为( )
A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b
参考答案:
A
【考点】对数值大小的比较.
【专题】计算题.
【分析】由a=60.7>60=1,0<b=0.76<0.7,c=log0.76<log0.71=0,知c<b<a.
解:∵a=60.7>60=1,
0<b=0.76<0.7,
c=log0.76<log0.71=0,
∴c<b<a.
故选A.
【点评】本题考查对数值大小的比较,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. .若命题“是真命题”,则实数a的取值范围是 。
参考答案:
或
若命题为真,则对应方程有解,即,解得或。
12. 已知直线l:,,若直线经过抛物线的焦点,则此时直线被圆截得的弦长______.
参考答案:
-1
抛物线的焦点为 , ,解得:; ,圆心 在直线 上,即 .
13. 已知点在椭圆上运动,则最小值是 .
参考答案:
14. 的二项展开式中含的项的系数为 .
参考答案:
15
15. 在平面直角坐标系xoy中,点P是直线3x+4y+3=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线,切点分别是A,B,则|AB|的取值范围为 .
参考答案:
[,2)
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】利用直线和圆的位置关系,求出两个极端位置|AB|的值,即可得到结论.
【解答】解:圆心C(1,1),半径R=1,要使AB长度最小,则∠ACB最小,即∠PCB最小,
即PC最小即可,由点到直线的距离公式可得d==2
则∠PCB=60°,∠ACB=120°,即|AB|=,
当点P在3x+4y+3=0无限远取值时,∠ACB→180°,
此时|AB|→直径2,
故≤|AB|<2,
故答案为:[,2).
16. 已知,,则__________.
参考答案:
【分析】
根据三角函数的基本关系式求得,进而求得,即可求解,得到答案.
【详解】根据三角函数的基本关系式可得,
又因为,所以,所以.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值,其中解答中合理应用三角函数的基本关系式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
17. 若奇函数在上单调递减,则不等式的解集是
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,
点M、N分别为A1B和B1C1的中点.
(1)证明:A1M⊥平面MAC;
(2)求三棱锥A-CMA1的体积;
参考答案:
(1)在Rt△BAC中,BC===
在Rt△A1AC中,A1C===.
∴BC=A1C,即△A1CB为等腰三角形.
又点M为A1B的中点,∴A1M⊥MC.
又∵四边形AA1B1B为正方形,M为A1B的中点,
∴A1M⊥MA,又AC∩MA=A,AC?平面MAC,
MA?平面MAC,∴A1M⊥平面MAC.----- -------6分
(2)由(1)的证明可得:
三棱锥A-CMA1的体积
VA-CMA1=VC-AMA1=×S△AMA1×CA=××2×1×2=. -------------------12分
略
19. 已知函数 .
(Ⅰ)若曲线在点处的切线平行于轴,求实数的值;
(Ⅱ)若不等式在区间(0,+∞)上恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)函数的导函数为 -----2分
由已知,可知 -------4分
即,所以………………5分
(Ⅱ)即为,又
即恒成立,设------------6分
所以---------------------7分
当时,,不满足题意;--------------------9分
当时,由,得,列表如下:
↘
极小值
↗
---------------------------------------11分
所以
解得
即实数的取值范围是---------------------------------------13分
方法二即为,又
所以恒成立,设---------------------------------7分
则---------------------------------8分
由,可得,列表如下:
↗
极大值
↘
------------------------------------------------11分
所以,
故
即实数的取值范围是---------------------------------------13分
20. (14分)已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,
∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且
(Ⅰ) 求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ) 当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
参考答案:
证明:(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD, ∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC.
又
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴
由AB2=AE·AC 得
故当时,平面BEF⊥平面ACD.
略
21. 已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列,C=2A.
(1)求cosA;
(2)设(),求△ABC的面积的最小值.
参考答案:
解:(1)C=2A,B=因为成等差数列
所以得
=整理得:
解之得:或(舍去)
(2)
∵
又,,,-
,-所以=
即所求的△ABC面积的最小值为15
22. (本小题满分14分)
如图,直三棱柱,,,
点分别为和的中点
(1)证明:;
(2)若二面角为直二面角,求的值
参考答案:
(1)连结,由已知
三棱柱为直三棱柱,
所以为中点.又因为为中点
所以,又平面
平面,因此 ……6分
(2)以为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立直角坐标系,如图所示
设则,
于是,
所以,设是平面的法向量,
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