江西省赣州市赣南师范学院附属中学2022年高一数学文期末试卷含解析

江西省赣州市赣南师范学院附属中学2022年高一数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 关于的方程，给出下列四个命题； ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根 ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根 其中假命题的个数是（   ） A．0     B．1      C．2     D．3 参考答案： A 2. 已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则(    )    A.                B.               C.                D. 参考答案： A 3. 设,，则有（ ）   参考答案： A 4. 若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，] 参考答案： B 考点： 二次函数的性质． 专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析： 由顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解． 解答： 解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x= ﹣a， 又∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数， ∴ ﹣a≥2，∴a≤﹣ ， 故选：B． 点评： 本题考查了二次函数的性质，由单调性来判断对称轴的位置，数形结合有助于我们解题，形象直观． 5. 在△ABC中，C＞90°，则tanA?tanB与1的关系为（　　） A．tanA?tanB＞1 B．tanA?tanB＜1 C．tanA?tanB=1 D．不能确定 参考答案： B 【考点】GK：弦切互化． 【分析】直接利用钝角三角形的性质，确定sinA＜cosB，利用切化弦化简tanAtanB，即可得到选项． 【解答】解：因为三角形是钝三角形，所以A+B＜；即：，所以sinA＜cosB，同理sinB＜cosA， tanAtanB=＜1 故选B 6. 设的大小关系是（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 参考答案： A 【考点】不等式比较大小． 【分析】分别考查指数函数及幂函数在实数集R上单调性，即可得出答案． 【解答】解：∵，由幂函数在实数集R上单调递增的性质得＞，∴a＞c． 又由指数函数在实数集R上单调递减的性质得＜，∴c＞b． ∴a＞c＞b． 故选A． 7. （5分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（） A． （，] B． （，+∞） C． （，） D． （﹣∞，）∪（，+∞） 参考答案： A 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 直线与圆． 分析： 根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可． 解答： 由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4， 则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆． 当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点， 此时1=﹣2k+4﹣2k， 解得k=， 当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=， 解得k=， 要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时， 则直线l夹在两条直线之间， 因此＜k≤， 故选：A． 点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 8. 设，则（      ） A. a＜c＜b    B. b＜c＜a    C. a＜b＜c      D. b＜a＜c 参考答案： C 由题意知，，，且，即，，所以. 故答案为C.   9. 下列各式中正确的个数是（      ）     ①；②；③④     、1个             、2个             、3个             、4个 参考答案： B 略 10. 8．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为(　　) A      B．1      C.   D.- 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合至多有一个元素，则的取值范围         ； 若至少有一个元素，则的取值范围          。 参考答案： ， 12. 已知集合，则            ． 参考答案： 略 13. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是          ． 参考答案： 90° 连接，由于，所以即为所求， ，满足勾股定理，故．   14. 已知函数，则的值是        ． 参考答案：   ④ 15. 已知集合,则            参考答案： 略 16. 若是第三象限的角，是第二象限的角，则是第         象限的角 参考答案： 一、或三  解析：    17. 已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（18）=　  　． 参考答案： p+2q 【考点】抽象函数及其应用；函数的值． 【分析】由已知中f（ab）=f（a）+f（b），可得f（18）=f（2）+f（3）+f（3），进而得到答案． 【解答】解：∵函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b）， ∴f（18）=f（2）+f（3）+f（3）， 又∵f（2）=p，f（3）=q， ∴f（18）=p+2q， 故答案为：p+2q 【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数求值，转化思想，难度中档． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF ∥平面CB1D1； （2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 参考答案： 证明:（1）连结BD. 在正方体中，对角线. 又 E、F为棱AD、AB的中点，  . .    又B1D1平面，平面，   EF∥平面CB1D1.                   （2） 在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，  AA1⊥B1D1. 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，  B1D1⊥平面CAA1C1.    又 B1D1平面CB1D1， 平面CAA1C1⊥平面CB1D1． 19. 已知f（x）=是定义在R上的奇函数． （1）求n，m的值； （2）若对任意的c∈（﹣1，1），不等式f（4c﹣2c+1）+f（2?4c﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f（0）=0，求出n的值，由f（1）+f（﹣1）=0，求出m的值，再检验即可； （2）问题等价于f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），得到k＜3t2﹣2t，，根据二次函数的性质求出k的范围即可． 【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（0）=0，即，∴n=1， ∴，又f（1）+f（﹣1）=0， ∴，∴m=2． 检验：当m=2，n=1时，满足f（﹣x）=﹣f（x）， 即f（x）是R上的奇函数． （2）由（1）知， 易知f（x）在R上为减函数， 令2c=t，因为c∈（﹣1，1），故， 又f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0， 等价于f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2） 又因f（x）为减函数，由上式推得t2﹣2t＞k﹣2t2， 即对一切，有3t2﹣2t﹣k＞0恒成立， ∴k＜3t2﹣2t，， 令y=3t2﹣2t，， 计算得， 即． 20. （16分）已知函数，． （1）求f（x）的最大值和最小值； （2）若不等式﹣2＜f（x）﹣m＜2在上恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 考点： 三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值；不等式的解法及应用． 分析： （1）由x的范围求出的范围，进一步得到的范围，从而得到f（x）的最大值和最小值； （2）由（1）中求得的f（x）的范围得到2﹣m≤f（x）﹣m≤3﹣m，再由不等式﹣2＜f（x）﹣m＜2在上恒成立，利用两不等式端点值间的关系列不等式组求解m的取值范围． 解答： （1）∵，∴， ∴， ∴， 故f（x）的最大值为3，最小值为2； （2）由（1）知，当时，2﹣m≤f（x）﹣m≤3﹣m， 要使﹣2＜f（x）﹣m＜2在上恒成立， 只需，解得1＜m＜4， ∴实数m的取值范围是（1，4）． 点评： 本题考查了三角函数值的求法，考查了数学转化思想方法，体现了集合思想在解题中的应用，是中档题． 21. 已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数． （Ⅰ）求a的值与函数 f（x）的定义域； （Ⅱ）若当x∈（1，+∞） 时，f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立．求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）直接由奇函数的定义列式求解a的值，然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案； （Ⅱ）化简f（x）+log（x﹣1）为log2（1+x），由x的范围求其值域得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵知函数f（x）=log2是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴， 即， ∴a=1． 令，解得：x＜﹣1或x＞1． ∴函数的定义域为：{x|x＜﹣1或x＞1}； （Ⅱ）f（x）+log2（x﹣1）=log2（1+x）， 当x＞1时，x+1＞2， ∴log2（1+x）＞log22=1， ∵x∈（1，+∞），f（x）+log2（x﹣1）＞m恒成立， ∴m≤1， m的取值范围是（﹣∞，1]． 【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 22. 1等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列    （1）求{}的公比q；    （2）求－＝3，求   参考答案： 解：（Ⅰ）依题意有            由于 ，故         又，从而                       （Ⅱ）由已知可得           故,   从而  略