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江西省赣州市赣南师范学院附属中学2022年高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 关于的方程,给出下列四个命题;
①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
A
2. 已知函数的图象恒过定点A,若点A也在函数的图象上,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 设,,则有( )
参考答案:
A
4. 若函数y=x2+(2a﹣1)x+1在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[﹣,+∞) B.(﹣∞,﹣] C.[,+∞) D.(﹣∞,]
参考答案:
B
考点: 二次函数的性质.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 由顶点公式可得出对称轴,对称轴应在(﹣∞,2]的右侧,可得不等式,求解.
解答: 解:∵函数y=x2+(2a﹣1)x+1的对称轴为x= ﹣a,
又∵函数y=x2+(2a﹣1)x+1在区间(﹣∞,2]上是减函数,
∴ ﹣a≥2,∴a≤﹣ ,
故选:B.
点评: 本题考查了二次函数的性质,由单调性来判断对称轴的位置,数形结合有助于我们解题,形象直观.
5. 在△ABC中,C>90°,则tanA?tanB与1的关系为( )
A.tanA?tanB>1 B.tanA?tanB<1 C.tanA?tanB=1 D.不能确定
参考答案:
B
【考点】GK:弦切互化.
【分析】直接利用钝角三角形的性质,确定sinA<cosB,利用切化弦化简tanAtanB,即可得到选项.
【解答】解:因为三角形是钝三角形,所以A+B<;即:,所以sinA<cosB,同理sinB<cosA,
tanAtanB=<1
故选B
6. 设的大小关系是( )
A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a
参考答案:
A
【考点】不等式比较大小.
【分析】分别考查指数函数及幂函数在实数集R上单调性,即可得出答案.
【解答】解:∵,由幂函数在实数集R上单调递增的性质得>,∴a>c.
又由指数函数在实数集R上单调递减的性质得<,∴c>b.
∴a>c>b.
故选A.
7. (5分)曲线y=+1(﹣2≤x≤2)与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是()
A. (,] B. (,+∞) C. (,) D. (﹣∞,)∪(,+∞)
参考答案:
A
考点: 直线与圆相交的性质.
专题: 直线与圆.
分析: 根据直线过定点,以及直线和圆的位置关系即可得到结论.利用数形结合作出图象进行研究即可.
解答: 由y=k(x﹣2)+4知直线l过定点(2,4),将y=1+,两边平方得x2+(y﹣1)2=4,
则曲线是以(0,1)为圆心,2为半径,且位于直线y=1上方的半圆.
当直线l过点(﹣2,1)时,直线l与曲线有两个不同的交点,
此时1=﹣2k+4﹣2k,
解得k=,
当直线l与曲线相切时,直线和圆有一个交点,
圆心(0,1)到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=,
解得k=,
要使直线l:y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时,
则直线l夹在两条直线之间,
因此<k≤,
故选:A.
点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,利用数形结合是解决本题的关键,考查学生的计算能力.
8. 设,则( )
A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D. b<a<c
参考答案:
C
由题意知,,,且,即,,所以.
故答案为C.
9. 下列各式中正确的个数是( )
①;②;③④
、1个 、2个 、3个 、4个
参考答案:
B
略
10. 8.tan 19°+tan 41°+tan 19°tan 41°的值为( )
A B.1 C. D.-
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合至多有一个元素,则的取值范围 ;
若至少有一个元素,则的取值范围 。
参考答案:
,
12. 已知集合,则 .
参考答案:
略
13. 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,,,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是 .
参考答案:
90°
连接,由于,所以即为所求, ,满足勾股定理,故.
14. 已知函数,则的值是 .
参考答案:
④
15. 已知集合,则
参考答案:
略
16. 若是第三象限的角,是第二象限的角,则是第 象限的角
参考答案:
一、或三 解析:
17. 已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(18)= .
参考答案:
p+2q
【考点】抽象函数及其应用;函数的值.
【分析】由已知中f(ab)=f(a)+f(b),可得f(18)=f(2)+f(3)+f(3),进而得到答案.
【解答】解:∵函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),
∴f(18)=f(2)+f(3)+f(3),
又∵f(2)=p,f(3)=q,
∴f(18)=p+2q,
故答案为:p+2q
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用,函数求值,转化思想,难度中档.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.
(1)求证:EF ∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
参考答案:
证明:(1)连结BD.
在正方体中,对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点,
. .
又B1D1平面,平面,
EF∥平面CB1D1.
(2) 在正方体中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1平面A1B1C1D1,
AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
B1D1⊥平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1,
平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
19. 已知f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求n,m的值;
(2)若对任意的c∈(﹣1,1),不等式f(4c﹣2c+1)+f(2?4c﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的性质.
【分析】(1)根据函数的奇偶性得到f(0)=0,求出n的值,由f(1)+f(﹣1)=0,求出m的值,再检验即可;
(2)问题等价于f(t2﹣2t)<f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),得到k<3t2﹣2t,,根据二次函数的性质求出k的范围即可.
【解答】解:(1)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,即,∴n=1,
∴,又f(1)+f(﹣1)=0,
∴,∴m=2.
检验:当m=2,n=1时,满足f(﹣x)=﹣f(x),
即f(x)是R上的奇函数.
(2)由(1)知,
易知f(x)在R上为减函数,
令2c=t,因为c∈(﹣1,1),故,
又f(x)是奇函数,∴f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0,
等价于f(t2﹣2t)<f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2)
又因f(x)为减函数,由上式推得t2﹣2t>k﹣2t2,
即对一切,有3t2﹣2t﹣k>0恒成立,
∴k<3t2﹣2t,,
令y=3t2﹣2t,,
计算得,
即.
20. (16分)已知函数,.
(1)求f(x)的最大值和最小值;
(2)若不等式﹣2<f(x)﹣m<2在上恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
考点: 三角函数的最值.
专题: 三角函数的求值;不等式的解法及应用.
分析: (1)由x的范围求出的范围,进一步得到的范围,从而得到f(x)的最大值和最小值;
(2)由(1)中求得的f(x)的范围得到2﹣m≤f(x)﹣m≤3﹣m,再由不等式﹣2<f(x)﹣m<2在上恒成立,利用两不等式端点值间的关系列不等式组求解m的取值范围.
解答: (1)∵,∴,
∴,
∴,
故f(x)的最大值为3,最小值为2;
(2)由(1)知,当时,2﹣m≤f(x)﹣m≤3﹣m,
要使﹣2<f(x)﹣m<2在上恒成立,
只需,解得1<m<4,
∴实数m的取值范围是(1,4).
点评: 本题考查了三角函数值的求法,考查了数学转化思想方法,体现了集合思想在解题中的应用,是中档题.
21. 已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.
(Ⅰ)求a的值与函数 f(x)的定义域;
(Ⅱ)若当x∈(1,+∞) 时,f(x)+log2(x﹣1)>m恒成立.求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(Ⅰ)直接由奇函数的定义列式求解a的值,然后由对数式的真数大于0求解x的取值集合得答案;
(Ⅱ)化简f(x)+log(x﹣1)为log2(1+x),由x的范围求其值域得答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵知函数f(x)=log2是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴,
即,
∴a=1.
令,解得:x<﹣1或x>1.
∴函数的定义域为:{x|x<﹣1或x>1};
(Ⅱ)f(x)+log2(x﹣1)=log2(1+x),
当x>1时,x+1>2,
∴log2(1+x)>log22=1,
∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x﹣1)>m恒成立,
∴m≤1,
m的取值范围是(﹣∞,1].
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质,考查了利用函数的单调性求解不等式,体现了数学转化思想方法,是中档题.
22. 1等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)求-=3,求
参考答案:
解:(Ⅰ)依题意有
由于 ,故 又,从而
(Ⅱ)由已知可得
故, 从而
略
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