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湖北省黄冈市武穴郑公塔中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中,若,则△ABC 是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 非等腰三角形 D. 直角三角形]
参考答案:
B
【分析】
利用三角恒等变换的公式,化简得到,求得,即可求解,得到答案.
【详解】由题意知,在中,若,
即,
化简得,即,
所以,即,所以是等腰三角形,故选B.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用,以及三角形形状的判定,其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式,化简得到是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
2. 当时,在同一坐标系中,函数的图象是( )
参考答案:
C
3. 360和504的最大公约数是 ( )
A 24 B 72 C 144 D以上都不对
参考答案:
B
4. 2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
参考答案:
C
【考点】对数的运算性质.
【分析】根据对数运算法则可直接得到答案.
【解答】解:∵2log510+log50.25
=log5100+log50.25
=log525
=2
故选C.
5. 已知成公比为2的等比数列, ,且也成等比数列, 则的值为 ( )
A.或0 B. C. 或 D. 或 或0
参考答案:
C
略
6. 设集合,,则A∩B=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:集合,集合,所以,故选D.
考点:1、一元二次不等式;2、集合的运算.
7. 若实数a,b满足,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
不妨设,则只有D成立,故选D。
8. 函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 设x,y满足约束条件,则z=x2+y2的最小值与最大值分别为( )
A., B.2, C.4,34 D.2,34
参考答案:
D
【分析】画出约束条件表示的可行域,通过表达式的几何意义,判断最大值与最小值时的位置求出最值即可.
【解答】解:由x,y满足约束条件,表示的可行域如图,
由,解得A(5,3).
x2+y2的几何意义是点P(x,y)到坐标原点的距离的平方,
所以x2+y2的最大值为AO2=25+9=34,
x2+y2的最小值为:原点到直线x﹣y﹣2=0的距离PO2==2.
故选:D.
10. (5分)函数y=ln(1﹣x)的图象大致为()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 对数函数的图像与性质.
专题: 作图题.
分析: 根据对数函数图象的性质,我们易画出自然对数的性质,然后根据函数的平移变换,及对称变换法则,我们易分析函数解析式的变化情况,然后逐步变换图象即可得到答案.
解答: 函数y=lnx的图象如下图所示:
将函数y=lnx的图象关于y轴对称,得到y=ln(﹣x)的图象,再向右平移1个单位即得y=ln(1﹣x)的图象.
故选C
点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,图象变换,其中根据图象变换法则,根据函数解析式之间的关系,分析出变化方法是解答本题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一个球的表面积为,则这个球的体积为 .
参考答案:
略
12. 在直角坐标系xOy中,终边在坐标轴上的角α的集合是 .
参考答案:
{α|α=,n∈Z}
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】分别写出终边在x轴上的角的集合、终边在y轴上的角的集合,进而可得到终边在坐标轴上的角的集合.
【解答】解:终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+,k∈Z},故合在一起即为{α|α=,n∈Z}
故答案为:{α|α=,n∈Z}
【点评】本题考查终边相同的角的表示方法,属于基础题.
13. 某校高中部有三个年级,其中高三有学生1000人,现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本,已知在高一年级抽取了75人,高二年级抽取了60人,则高中部共有_ __学生。
参考答案:
3700
14. 不等式组所围成的区域面积为_ ____
参考答案:
1
略
15. 扇形的半径为cm,中心角为,则该扇形的弧长为 cm
参考答案:
16. 已知函数f(x)=(x+1)2,若存在实数a,使得f(x+a)≤2x─4对任意的x∈[2,t]恒成立,则实数t的最大值为_________________.
参考答案:
4
17. 已知=,(<θ<π),则= 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知。
(1)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;
(2)若,解不等式。
参考答案:
(1)当时,,解得;
当时,不合题意;所以。
(2),即
因为,所以,因为
所以当时,, 解集为{|};
当时,,解集为;
当时,, 解集为{|}。
19. 已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为,,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足:,,数列的前n项和求证:.
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
参考答案:
(1);(2)证明见解析;(3).
试题分析:(1)由和项求数列通项,注意分类讨论:当,得,当时,,得数列递推关系式,因式分解可得,根据等差数列定义得数列通项公式(2)因为,所以利用叠加法求通项公式:,因此,从而利用裂项相消法求和得,即证得(3)不等式恒成立问题,一般先变量分离,转化为求对应函数最值问题:由得,而有最大值,所以
试题解析:(1)时,
是以为首项,为公差的等差数列
…4分
(2)
,,即…………………9分
(3)由得, 当且仅当时,有最大值,………………………………14分
考点:等差数列定义,叠加法求通项,裂项相消法求和
【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
20. 已知函数.
(Ⅰ)证明:y=f(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)当a=2时,方程f(x)=﹣2x+1的根在区间(k,k+1)(k∈Z)内,求k的值.
参考答案:
【考点】二分法求方程的近似解;函数单调性的判断与证明.
【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)根据单调性的定义即可证明;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)+2x﹣1,判断出函数g(x)是R上的增函数,求出函数的零点区间,即可求出k的值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵x∈R,设x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=a﹣﹣a+=,
∵x1<x2,且a>1,
∴.
又,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)为增函数.
(Ⅱ)解:令g(x)=f(x)+2x﹣1,
当a=2时,由(Ⅰ)知,函数f(x)是R上的增函数,
∴函数g(x)是R上的增函数且连续,
又g(0)=f(0)﹣1=﹣1<0,g(1)=>0,
所以,函数g(x)的零点在区间(0,1)内,
即方程f(x)=﹣2x+1的根在区间(0,1)内,
∴k=0.
【点评】本题考查了函数的单调性的判断,以及函数零点存在定理得应用,属于中档题.
21. 已知,且为第二象限角.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求,利用诱导公式,二倍角公式即可计算得解;
(Ⅱ)由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值,根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值,根据两角和的正切函数公式即可计算得解.
【详解】(Ⅰ)由已知,得,
∴.
(Ⅱ)∵,得,
∴.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式,二倍角公式,两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
22. 若集合,且,求实数的值. w.w.w
参考答案:
解析:由,因此,.
(i)若时,得,此时,;
(ii)若时,得. 若,满足,解得.
故所求实数的值为或或.
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