高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第44练 函数与方程思想 理

专题专题10 数学思想方法数学思想方法第第44练函数与方程思想练函数与方程思想思想方法解读1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切常考题型精析常考题型精析高考题型精练高考题型精练题型一利用函数与方程思想解决图象交点题型一利用函数与方程思想解决图象交点 或方程根等问题或方程根等问题题型二函数与方程思想在不等式中的应用题型二函数与方程思想在不等式中的应用题型三函数与方程思想在数列中的应用题型三函数与方程思想在数列中的应用常考题型精析常考题型精析题型四函数与方程思想在解析几何中的应用题型四函数与方程思想在解析几何中的应用题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；解解方法一因为x0，等号成立的条件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，g(x)m就有实根.方法二观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)m有实根，则只需m2e.方法三由g(x)m，得x2mxe20，故m2e.(2)确定t的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根.解解若g(x)f(x)0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.因为f(x)x22ext1(xe)2t1e2，所以函数f(x)图象的对称轴为直线xe，开口向下，最大值为t1e2.故当t1e22e，即te22e1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根.所以t的取值范围是(e22e1，).点点评评函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题.A.5 B.6C.7 D.8由题意知函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)g(x)，xAxBxC7.答案答案C题型二函数与方程思想在不等式中的应用题型二函数与方程思想在不等式中的应用令f(x)0得x24x30，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，由于函数g(x)x22bx4，x1,2.当b2时，g(x)maxg(2)4b8.解第一个不等式组得b1，第三个不等式组无解.点评点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.证明证明记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x0，c2a2b2，(2)求m的取值范围.解解设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)2m220，当m2时，上式不成立；由(*)式，得k22m22，又k0，点评点评利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程.第二步：求解判别式.第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.第四步：下结论.将上述等量代换式代入0或0中，即可求出目标参数的取值范围.第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.变式训练变式训练4如图所示，设椭圆C1：1的左，右焦点分别是F1，F2，下顶点为A，线段OA的中点为B(O为坐标原点)，若抛物线C2：ymx2n(m0，n0)与y轴的交点为B，且经过F1，F2两点.(1)求抛物线C2的方程；解解由题意可知A(0，2)，则B(0，1)，由抛物线ymx2n过点B，可知n1.又F1(1,0)，F2(1,0)，抛物线ymx2n经过F1，F2两点，即mn0，所以m1.所以抛物线C2的方程为yx21.(2)设M ，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两点，求MPQ的面积的最大值.解解设N(t，t21)，由y2x，知直线PQ的方程为y(t21)2t(xt)，即y2txt21.将其代入椭圆方程，整理得4(15t2)x220t(t21)x5(t21)2200.400t2(t21)280(5t21)(t21)2480(t41823)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设点M到直线PQ的距离为d，当且仅当t3时取“”，经检验此时0，满足题意.高考题型精练高考题型精练1.若2x5y2y5x，则有()A.xy0 B.xy0C.xy0 D.xy0解解析析把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有xy，即xy0.B123456高考题型精练高考题型精练2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30123456高考题型精练高考题型精练解析解析如图，ADEABC，设矩形的另一边长为y，所以y40 x，由题意知xy300，即x(40 x)300，整理得x240 x3000，解不等式得10 x30.答案答案C123456高考题型精练高考题型精练123456高考题型精练高考题型精练123456高考题型精练高考题型精练4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_.解析解析令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，123456高考题型精练高考题型精练123456高考题型精练高考题型精练由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)，故f(x2)5的解集为x|7x3.答案答案x|7x3123456高考题型精练高考题型精练5.当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，求实数a的取值范围.解解当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当x(0,1时，ax3x24x3，123456高考题型精练高考题型精练(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.123456高考题型精练高考题型精练当x2，1)时，(x)0.123456高考题型精练高考题型精练当x1时，(x)有极小值，即为最小值.a2.综上知6a2.123456高考题型精练高考题型精练(1)当n2时，求函数f(x)的极值；解解由已知得函数f(x)的定义域为x|x1，123456高考题型精练高考题型精练当x(1，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增.123456高考题型精练高考题型精练当a0时，f(x)0时，当a0时，f(x)无极值.123456高考题型精练高考题型精练(2)当a1时，证明：对任意的正整数n，当x2时，有f(x)x1.证明证明因为a1，123456高考题型精练高考题型精练所以当x2，)时，g(x)单调递增，又g(2)0，因此g(x)x1 ln(x1)g(2)0恒成立，所以f(x)x1成立.123456高考题型精练高考题型精练所以只需证ln(x1)x1，令h(x)x1ln(x1)，所以当x2，)时，h(x)x1ln(x1)单调递增，又h(2)10，所以当x2时，恒有h(x)0，123456高考题型精练高考题型精练123456即ln(x1)x1命题成立.综上所述，结论成立.