广西壮族自治区河池市四把中学高三数学文月考试题含解析

广西壮族自治区河池市四把中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是        A．                               B．        C．                              D． 参考答案： A 2. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中 正确的是 （A） 若   （B） 若 （C） 若   （D） 若 参考答案： B 3. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点N是平面A1B1C1D1上的点，且满足，当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，线段MN的最小值是（　　） A． B．8 C． D． 参考答案： C 【考点】棱柱的结构特征． 【分析】由题意，当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1为棱长为4的正方体．N的轨迹是平面A1B1C1D1中，以C1为圆心，为半径的圆的，设M在平面A1B1C1D1中的射影为O，则O为A1B1的中点，ON的最小值，即可得出结论． 【解答】解：由题意，当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1为棱长为4的正方体． N的轨迹是平面A1B1C1D1中，以C1为圆心，为半径的圆的， 设M在平面A1B1C1D1中的射影为O，则O为A1B1的中点，ON的最小值为， ∴线段MN的最小值是=， 故选C． 【点评】本题考查长方体的结构特征，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 4. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（  ） A. 3 B. 1 C. D. 参考答案： B 【分析】 由两圆恰有三条公切线可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，然后用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值。 【详解】解：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为，，圆心分别为，，半径分别为2和1 当且仅当时，等号成立， 故选：B 【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特性，基本不等式的运用，本题中得到两圆相外切，再利用其性质得到是解题的关键点和难点。对于正实数a、b，存在，当且仅当时，取等号。   5. 函数的定义域是 A．       B．         C．        D． 参考答案： D 6. 用反证法证明命题：“如果，那么”时，假设的内容应是（   ） A．     B．      C．      D．且 参考答案： C 7. 直线截圆得到的劣弧所对圆心角等于（    ） A．       B．       C．      D． 参考答案： C 8. 复数（i为虚数单位）等于（） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据复数的四则运算，化简 ，即可求解． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数，故选B． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9. 已知为两个单位向量,那么       （      ）       A．       B．若,则     C．              D． 参考答案： D 10. 若的三个内角A、B、C满足,则（    ） A．一定是锐角三角形                 B．一定是直角三角形  C．一定是钝角三角形                 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将25个数排成如图所示的正方形： 已知第一行a11，a12，a13，a14，a15成等差数列，而每一列a1j，a2j，a3j，a4j，a5j（1≤j≤5）都成等比数列，且五个公比全相等．若a24＝4，a41＝－2，a43＝10，则a11×a55的值为_____________． 参考答案： 略 12. 等差数列中，已知，则___________． 参考答案： 1007 略 13. 按右面的程序框图运行后,输出的应为__________. 参考答案： 40 略 14. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射 影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于         参考答案： 15. 已知i是虚数单位，复数__________． 参考答案： 2 略 16. 椭圆C的焦点在轴上，焦距为2，直线n:x-y-1=0与椭圆C交于A、B两点，F1是左焦点，且，则椭圆C的标准方程是         参考答案： 17. 在一节手工课中，小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥型橡皮泥捏成一个圆柱（橡皮泥的用量保持不变），则当这个圆柱的表面积最小时，该圆柱的底面半径为________． 参考答案： 2 【分析】 本题首先可以设圆柱的半径为、高为，然后通过题意计算出圆锥的体积，再然后通过圆柱的体积公式以及圆锥的体积得出半径与高之间的关系，最后通过圆柱的表面积公式并借助导函数的相关性质即可得出结果。 【详解】设圆柱的半径为，高为， 因为圆锥的高为，体积， 所以圆柱的体积公式为，，， 圆柱的表面积为， 设，， 当时，，是减函数； 当时，，是增函数； 所以当时，最小，圆柱的表面积最小， 综上所述，答案为2。 【点睛】本题考查圆柱与圆锥的相关性质，考查圆柱与圆锥的表面积与体积公式，需要注意题目中所给出的圆柱与圆锥的体积相同，考查推理能力与计算能力，考查借助导数求最值的方法，体现了综合性，是中档题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.  已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用a表示b，并求b的最大值； （II）求证：f(x)≥g(x)(x>0)．   参考答案： 解析　(1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，依题意得，即由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)，由h′(t)＝0得t＝e或t＝0(舍去)．列表如下： t (0，e) e (e，＋∞) h′(t) ＋ 0 － h(t)  极大值  于是函数h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，即b的最大值为e. (2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)．列表如下： x (0，a) a (a，＋∞) F′(x) － 0 ＋ F(x)  极小值  于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x) 19. 已知函数． （Ⅰ）若函数的图象在处的切线方程为，求，的值； （Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）如果函数有两个不同的极值点，证明：． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵， ∴ ． 于是由题知，解得．………………………………………………2分 ∴ ． ∴ ， 于是，解得．……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意即恒成立， ∴ 恒成立．……………………………………………………5分 设，则．     当变化时，、的变化情况如下表： 减函数 极小值 增函数 ∴， ∴…………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）由已知， ∴ ． ∵是函数的两个不同极值点（不妨设）， ∴（）有两个不同的实数根………………………10分 当时，方程（）不成立 则，令，则 由得： 当变化时，，变化情况如下表： 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 ∴当时，方程（）至多有一解，不合题意；……………12分 当时，方程（）若有两个解，则 所以，………………………………………………………13分   略 20. [选做题：不等式选讲] 已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为 {x|}，a，b∈R． （1）求a，b的值； （2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m成立，求实数m的最大值． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（1）通过分类讨论，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b． （2）由（1）知a=1，b=2，求出绝对值的最值，得到m2﹣3m+5≤3，然后求解实数m的最大值． 【解答】解：（1）若x，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣，即﹣； 若﹣，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即﹣； 若x≥，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得x≤，即 综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为[﹣，]，所以a=1，b=2． （2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3， 故m2﹣3m≤3，m2﹣3m﹣3≤0，所以≤m≤，即实数m的最大值为． 21. 本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，，记点P的轨迹为曲线E。     （1）求曲线E的方程；     （2）经过点（0，1）作直线与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积。 参考答案： 解：（1）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)。 由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， ∴得         … …………   2分 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， ∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲线E的方程为x2＋＝1。           … …………   5分 （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)。 设直线的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得 (k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－，           … ……………   7分 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2。         ………… …………   9分 这时|AB|＝|x1－x2|＝＝， 原点到直线l的距离d＝＝， 所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝。  ……………… ……  12分 22. （本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围 （3）已知点M（，0），N（0, 1），在(2)的条件