2022-2023学年湖南省岳阳市临湘第七中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市临湘第七中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 由下列条件解，其中有两解的是（      ）   A.              B.   C.                  D.      参考答案： C 在C中，，且，所以有两解.选C. 2. （5分）（2012?山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　） 　 A． 232 B． 252 C． 472 D． 484 参考答案： C 由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法， 故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472 故选C． 3. 下列函数中既是偶函数，又是区间上的减函数的是（     ）    A、     B、       C、      D、 参考答案： D 4. （原创）复数为纯虚数的充要条件是(      ) A.    B.    C.    D.    参考答案： A 5. 已知角的终边经过点，且，则的值为（     ） A. B. C. D. 参考答案： A 略 6. 已知，，则的最小值是（   ） A.   3    B.  4    C.    D. 参考答案： B 略 7.  如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（     ） A.          B.        C.          D. 参考答案： B 解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结CM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在△AMC中，由余弦定理得。 8. 设函数，其中，则导数f′（﹣1）的取值范围（　　） A．[3，6] B． C． D． 参考答案： A 考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数的值域．  分析： 先对原函数进行求导可得到f′（x）的解析式，将x=﹣1代入可求取值范围． 解答： 解：∵ ∴ ∴=2sin（）+4 ∵∴∴sin ∴f′（﹣1）∈[3，6] 故选A． 点评： 本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大． 9. 已知数列满足则通项公式为（  ）                    参考答案： D 10. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为 A．        B．        C．          D．   参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点落在角的终边上，且，则的值为         ; 参考答案： 略 12. 在△ABC中，AB=2BC，∠B=120°．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】利用余弦定理求得丨AC丨，由椭圆的定义可知：丨AC丨+丨BC丨=2a，2c=2，由e=，即可求得椭圆的离心率． 【解答】解：设丨AB丨=2丨BC丨=2，则丨AC丨2=丨AB丨2+丨BC丨2﹣2丨AB丨?丨BC丨?cosB=4+1﹣2×4×1×（﹣）=7， ∴丨AC丨=， ∵以A、B为焦点的椭圆经过点C， ∴2a=+1，2c=2 ∴e===， 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查余弦定理，属于基础题． 13. 已知满足约束条件,则目标函数的最大值是_______. 参考答案： 14. 已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足=+，则||的最小值是　　． 参考答案： 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】首先建立平面直角坐标系：以A为原点，平行于CB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出C，B点的坐标，并根据题意设P（cosθ，sinθ），从而得到的坐标，用θ表示||即可． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），则A（0，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）； =+==（）． =（） 则||===． ∴故答案为：   15. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为           ． 参考答案： 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设出双曲线的一个焦点和一条渐近线，运用点到直线的距离公式，即可得到c=2b，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到． 解答： 解：设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线为y=x， 则===b=×2c， 即有c=2b，即有c=2， 即有3c2=4a2， 即有e==． 故答案为：． 点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 16. 设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为　　． 参考答案： ﹣2 考点： 分段函数的应用；函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 直接利用分段函数化简求解即可． 解答： 解：函数f（x）=， 则f（﹣1）=， f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 17. 已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为　      　． 参考答案： 11 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，然后逐一分区间求得答案． 【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=， 当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1， 而y=在x=时也有y=1； 当x∈[2，22）时，f（x）=，在x=3处函数f（x）取得最大值， 而y=在x=3时也有y=； 当x∈[22，23）时，f（x）=，在x=6处函数f（x）取得最大值， 而y=在x=6时也有y=； …； 当x∈[210，211）时，f（x）=，在x=1536处函数f（x）取得最大值， 而y=在x=1536时也有y=． ∴函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为11． 故答案为：11． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知. (I)解不等式； (II)若不等式 (m>0,n>0)对任意的都成立，证明：. 参考答案： （Ⅰ）就是. （1）当时，，得. (2)当时，，得，不成立. ………2分 （3）当时，，得. 综上可知，不等式的解集是.………5分 （Ⅱ）因为， 所以.                                                  ………7分 因为，时，，所以，得. 所以.                                     ………10分 19. （14分）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R． （Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间； （Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值； （Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对?x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间； （Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出； （Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）… f'（x）=﹣x++=﹣，… ①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增； ②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减； 所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．… （Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx， ∴h′（x）=x﹣ 令h′（x）=0解得x=，… 当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0， 故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，… 故h（x）min=h（）=1﹣ln2， 又h（1）=，h（e）=e2﹣2， 所以h（x）max=e2﹣2．…    （Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，… 设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞）， ∴，… ①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减， ∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；… ②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增， 所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；… ③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增， 则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0， 所以不成立，…（13分） 综上得a≤0．…（14分） 【点评】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题． 20. （12分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求的值.      （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率； （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。 参考答案： (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个