湖南省衡阳市常宁市大坪中学2022年高一数学文期末试题含解析

湖南省衡阳市常宁市大坪中学2022年高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（    ）             A. ①③④ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③ 参考答案： A 【分析】 分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题. 2. 若集合A={x|1＜x≤}，B={x|0＜x≤1}，则A∪B=（　　） A．{x|x＞0} B．{x|x≤} C．{x|0≤x≤} D．{x|0＜x≤} 参考答案： D 【考点】并集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由A与B，求出两集合的并集即可． 【解答】解：∵A={x|1＜x≤}，B={x|0＜x≤1}， ∴A∪B={x|0＜x≤}． 故选：D． 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 3. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为        A.                                                   B.     C.                                                                    D. 参考答案： B 4. 直线的倾斜角是（    ） A．　　　      　B.             C.   D. 参考答案： D 5. 在中，若,, , 则等于  (    ) A．       B．或       C．        D．或 参考答案： B 6. 已知，则的表达式为                              （    ） A． B． C． D． 参考答案： A 7. 点A在函数的图象上，则有     A.      B.      C.     D. 参考答案： B 略 8. 设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是(     ) A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 参考答案： A 【考点】奇函数；对数函数的单调性与特殊点． 【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a， 然后由对数函数的单调性解之． 【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），， ，即=， 1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2 此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1 则 即 解得﹣1＜x＜0 故选A 【点评】本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性． 9. 函数的递增区间是    A．           B．           C．           D． 参考答案： A  10. 的值是 (     ) A．             B．           C．           D． 参考答案： A 【知识点】诱导公式 解： 故答案为：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知：函数的图象关于直线x=1对称，当， 则当 =                参考答案： 12. 在中，角所对的边分．若，则         参考答案： 1 13. 已知函数是偶函数，且，则的值   为              ． 参考答案： 14. 函数的定义域为               参考答案：     15. 已知函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=　　． 参考答案： 0 考点： 正弦函数的图象．  专题： 三角函数的求值． 分析： 直接利用图象对称轴的距离，求出函数的周期，继而求出f（x）=3sin（x+φ），分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）的值，发现其规律得到答案． 解答： 解：函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离为2， ∴周期为4，则ω==， ∴f（x）=3sin（x+φ）， ∴f（1）=3sin（+φ）=3cosφ， f（2）=3sin（π+φ）=﹣3sinφ， f（3）=3sin（+φ）=﹣3cosφ， f（4）=3sin（2π+φ）=3sinφ， ∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0， 故答案为：0． 点评： 本题考查函数周期的求法以及归纳推理好三角函数的诱导公式，涉及三角函数的图象的应用，考查计算能力． 16. 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可判定该根所在的区间是_______________。 参考答案： 略 17. 函数的最小正周期是             . 参考答案： π ∵函数的周期为，∴函数的最小正周期.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12. (Ⅰ)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？ (Ⅱ)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ （III）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由. 参考答案： 解：（I）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为： 又因为频率= 所以 （II）由图可估计该学校高一学生的达标率约为 （III）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内. 19. 已知点，，. （1）若，求的值； （2）若，其中为坐标原点，求的值. 参考答案： （Ⅰ）因为，，， 所以，. 因为 所以. 化简得 因为（若，则，上式不成立）.所以. （Ⅱ）因为，， 所以，因为，所以， 所以，所以，， 因为，所以，故. 20. 已知集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，C={x|x≤a}． （1）求A∪B与（?RA）∩B； （2）若A∩C≠?，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】（1）根据并集与补集、交集的定义进行计算即可； （2）化简交集和空集的定义，即可得出结论． 【解答】解：（1）集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}， ∴A∪B={x|2≤x≤20}=[2，20]；…3分 ?RA={x|x＜2或x＞11}， ∴（?RA）∩B={x|11＜x≤20}=（11，20]；…7分 （2）集合A={x|2≤x≤11}，C={x|x≤a}， 当A∩C≠?时，a≥2．…14分． 21. 已知函数（且）的图象过点，.若函数在定义域内存在实数t，使得成立，则称函数具有性质M. （1）求实数a的值； （2）判断函数g(x)是否具有性质M？并说明理由； （3）证明：函数f(x)具有性质M. 参考答案： （1）；（2）函数不具有性质M，详见解析；（3）证明见解析 【分析】 （1）将点代入的解析式求解即可； （2）由，可得对数方程，运用对数的性质判断方程的解，即可判断是否具有性质； （3）由，求得方程的根或范围，结合新定义即可得证. 【详解】（1）由题意，函数的图象过点， 所以，解得； （2）函数不具有性质M，证明如下： 函数的定义域为， 方程 ， 而方程无解， 所以不存在实数使得成立， 所以函数不具有性质M； （3）由（1）知，定义域为R， 方程 ， 设， ，， 函数的图象连续，且， 所以函数在区间存在零点， 所以存在实数t使得成立， 所以函数具有性质M. 【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用、函数方程的关系和零点定理，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题. 22. （14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 参考答案： 考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析： （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF； （2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可． 解答： 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA， 又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF， ∴PA∥平面DEF； （2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4； ∴DE2+EF2=DF2， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC； ∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC． 点评： 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．