浙江省绍兴市诸暨海亮中学高一数学文上学期期末试题含解析

浙江省绍兴市诸暨海亮中学高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合A={x|x=3n+1，n∈N}，B={5，7，9，11，13}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x|x=3n+1，x∈N}={1，4，7，10，13，16…}， B={5，7，9，11，13}， 则集合A∩B={7，13}， 故对应的元素个数为2个， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2. 已知函数则的值为(     ) A． B．4 C．2 D． 参考答案： A 【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵函数， ∴f（）==﹣3， =f（﹣3）=2﹣3=． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题． 3. 如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【分析】本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可 【解答】解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系， ∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1 ∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0） ∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0） ∴cosθ== 故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°． 故选C 4. 正三棱锥的底面边长为6，高为，则这个三棱锥的全面积为 （  ） （A）9 （B）18 （C）9（+）（D） 参考答案： C 略 5. 如图，某几何体的正视图和俯视图是两个半径相等的圆，侧视图中两条半径相互垂直．若该几何体的表面积是4πa2，则它的体积是（　　） A． B．πa3 C． D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中正视图和俯视图是两个半径相等的圆，侧视图中两条半径相互垂直．可得该几何体是四分之三球，进而得到答案． 【解答】解：由已知中正视图和俯视图是两个半径相等的圆，侧视图中两条半径相互垂直． 可得该几何体是四分之三球， 设球半径为R，则3πR2+2×πR2=4πR2=4πa2， 即R=a， 故它的体积是：V==πa3 故选：B 6. 为了得到函数的图像，需要把函数图像上的所有点（   ） A.横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度 B.横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 参考答案： A 7. 是成等比数列的（    ）     A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件     C. 充要条件          D. 既不充分也不必要条件   参考答案： 解析：不一定等比     如     若成等比数列     则     选D 8. 设常数,集合,.若,则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 略 9. 直线 y + 3 = 0的倾斜角是（      ）   （A）0°    （B）45°   （C）90°   （D）不存在 参考答案： A 10. 若函数，且的图象过第一、二、三象限，则有（   ） A．     B．     C．,     D．,  参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第__________象限角． 参考答案： 三 考点：象限角、轴线角． 专题：计算题． 分析：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sinα＜0且tanα＞0时，α是第三象限角． 解答： 解：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角； 由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角． 由于 sinα＜0 且tanα＞0，故α是第三象限角， 故答案为：三． 点评：本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinα＜0时，α是第三或第四象限角；tanα＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键 12. 若，且，则__________ 参考答案： 13. 函数y=的值域是　　． 参考答案： （﹣1，） 【考点】函数的值域． 【分析】分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围． 【解答】解：函数y===﹣1． ∵2x+3＞3， ∴0＜． ∴函数y=的值域是（﹣1，） 故答案为（﹣1，） 14. 已知直线y=kx﹣2k+1与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3相交于M，N两点，则|MN|等于　　． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据已知可得直线恒过圆心，则|MN|即为直径． 【解答】解：直线y=kx﹣2k+1恒过（2，1）点， 即直线y=kx﹣2k+1恒过圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=3的圆心， 故|MN|=2R=； 故答案为： 15. 某运动会开了n天 ( n > 1 )，共发出m枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的，第二天发出2枚加上余下的；如此持续了( n – 1 )天，第n天发出n枚。该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌。 参考答案： 6，36； 16. 设，，，则从大到小的顺序为         . 参考答案： 略 17. 已知全集A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，则A∩B=　　     ． 参考答案： {70} 【考点】交集及其运算． 【分析】由A与B，求出两集合的交集即可． 【解答】解：∵A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}， ∴A∩B={70}． 故答案为：{70} 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知为常数，，函数，且方程有等根． （1）求的解析式及值域； （2）设集合，，若，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 参考答案： （1），                         …………1分 又方程，即，即有等根， ，即，从而，                               …………2分  .                                                          …………3分 又，值域为                    …………4分 （2）， ①当时，，此时，解得                   …………5分 ②当时，设，对称轴，要，只需，…………7分 解得，                                                  …………8分 综合①②，得.                                                           …………9分 （3），                     又对称轴，在是增函数                                        …………10分                                                                …………12分 解得，.                                                           …………13分  ∴存在，使的定义域和值域分别为和.               …………14分 19. （12分）在△OAB中，=，=，若?=|﹣|=2： （1）求||2+||2的值； （2）若（+）（﹣）=0，=3，=2，求?的值． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： （1）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到； （2）通过条件（+）?（﹣）=0，化简整理可得||=||，由（1）的结论即有△OAB为正三角形，再由向量垂直的条件，即可计算得到所求值． 解答： （1）由于|﹣|=2，则|﹣|2=（）2=+﹣2=4， 又=2， 则有||2+||2=+=8； （2）由（+）?（﹣）=0， 则+﹣﹣=||﹣||+﹣=（||﹣||）（1+）=0， 则有||=||，由（1）的结论得||=||=2， 又||=||=2，所以△OAB为正三角形， 则=（+）?， 因为N为AB的中点，ON⊥AB， 从而=0，||=×2=， 则有?=（）2=3． 点评： 本题考查向量的数量积的性质，考查正三角形的性质，考查运算能力，运用向量垂直的条件是解题的关键． 20. 已知，． （1）求的最小值 （2）证明：． 参考答案： （1）3；    （2）证明见解析． 【试题分析】(1)利用柯西不等式求得最小值为.(2)将不等式的右边变为,用基本不等式可求得右边的最小值为,由此证得不等式成立. 【试题解析】 （1）因为，， 所以,即， 当且仅当时等号成立，此时取得最小值3． （2） ． 21. （12分）已知圆C:=0， (1)已知不过原点的直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等，求直线的方程； (2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程. 参考答案： （1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零， 设直线方程为.........1分 ∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径，..............3分 即= ...................4分    ∴或..................5分 所求切线方程为：或 ………………6分 （2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合 故直线.................8分 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分 则，.................11分 直线方程为 综上，直线方程为，.................12分 22. (本题满分12分) (1)求值：sin30°+cos60°－tan45°+sin90°+cos180°; (2)化简：. 参考答案：