吉林省长春市第十三中学高三数学理月考试题含解析

吉林省长春市第十三中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知P为抛物线y2=4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对给定点A（3，4），则|PA|+d的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】可设抛物线的焦点为F（1，0），根据抛物线的定义，当|PA|+d最小时，|PA|+|PF|最小，从而问题转化为求|PA|+|PF|的最小值，而由图形便可看出|PA|+|PF|的最小值为|AF|，而|AF|=，这样便可得出|PA|+d的最小值． 【解答】解：如图，设抛物线焦点F（1，0）； |PA|+d最小时，|PA|+d+1最小； 根据抛物线的定义，d+1=|PF|； ∴只要求|PA|+|PF|的最小值即可； 由图看出，连接AF，当P点为AF和抛物线交点时，|PA|+|PF|最小； 且最小值为|AF|=； ∴|PA|+d+1的最小值为； ∴|PA|+d的最小值为． 故选：B． 【点评】考查数形结合解题的方法，抛物线的标准方程，根据抛物线的标准方程能求出抛物线的焦点坐标，以及抛物线的定义，两点间的距离公式． 2. 已知命题p：?x0∈R，ex﹣mx=0，q：?x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（?q）为假命题，则实数m的取值范围是(     ) A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．[0，2] C．R D．? 参考答案： B 考点：复合命题的真假． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论． 解答： 解：若p∨（?q）为假命题，则p，?q都为假命题，即p是假命题，q是真命题， 由ex﹣mx=0得m=， 设f（x）=，则f′（x）==， 当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减， 当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减， ∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e， ∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞）， ∴若p是假命题，则0≤m＜e； 若q是真命题，则由x2+mx+1≥0，则△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2， 综上，解得0≤m≤2． 故选：B． 点评：本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度． 3. 已知双曲线： （， ）的左右焦点分别为、，点关于双曲线的一条渐近线的对称点在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（    ） A.     B.     C. 2    D. 参考答案： D 设，渐近线方程，对称点， ， ，解得： ， ，代入到双曲线方程得: ,化简得： ，选. 4. 设全集,集合,,则集合=（   ） A、    B、       C、     D、 参考答案： B 5. 设数列是等差数列，且是数列的前项和，则 A．                                                     B． C．                                                      D． 参考答案： D 6. 对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①f（x）=sin（x）； ②f（x）=2x2﹣1； ③f（x）=|1﹣2x|；      ④f（x）=log2（2x﹣2）． 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（　　） A．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④ 参考答案： B 【考点】正弦函数的定义域和值域．  【专题】新定义；函数的性质及应用． 【分析】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论． 解：①函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性． ②当A=[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[﹣1，1]一个． ③A=[0，1]为函数f（x）=|2x﹣1|的“可等域区间”， 当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数单调递增，f（0）=1﹣1=0，f（1）=2﹣1=1满足条件， ∴m，n取值唯一．故满足条件． ④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞）， 若存在“可等域区间”，则满足，即， ∴m，n是方程2x﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2x﹣2x+2，f′（x）=2xln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增， ∴f（x）=2x﹣2x+2=0不可能存在两个解， 故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”． 故选：B． 【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度． 7. 已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到该几何体的主视图． 【解答】解：过点A，P，Q的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图： ①，它的主视图是B选项中的图； ②，它的主视图是C选项中的图； ③，它的主视图是D选项中的图； ∴该几何体的主视图不可能是A． 故选：A． 　 8. 已知i为虚数单位,则复数等于   (A)     (B)   (C)      (D) 参考答案： C 9. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　） A．1﹣ B． C． D．1﹣ 参考答案： A 【考点】几何概型． 【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率． 【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π． 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣， 故选：A． 【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10. 如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 参考答案： D 取的中点，连接，，， 设，则，，所以， 连接，， 因为，所以异面直线与所成角即为， 在中，，故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等式的值为______________. 参考答案： 略 12. 若函数的定义域是R, 则的取值范围是　　　　　　 参考答案： 略 13. 的解集为　　　　　　　　　　． 参考答案：   14. 我们把形如（）的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为 “囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆皆称为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为        . 参考答案： 考点：1、函数的图象和性质；2、圆的图象和性质. 【方法点睛】本题通过新定义“囧函数”、“囧点”、“囧圆”主要考查函数的图象和性质、圆的图象和性质，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是命题都围绕“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的基本定义命题，只要能正确理解“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的基本定义，问题就能迎刃而解. 15. 设变量x，y 满足约束条件则的取值范围是          ． 参考答案： 16. 函数的最小值为  ☆  ． 参考答案：      17. 若直线是曲线的切线，则实数的值为         .                  参考答案： 设切点为 ，由得， 故切线方程为，整理得， 与比较得，解得，故 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于A，B两点，四边形为平行四边形，为坐标原点，且，求直线的方程． 参考答案： （Ⅰ）椭圆的方程：  ………………………………………………4分 （Ⅱ）首先，直线的斜率不存在时，，，舍去；       设直线的方程为： ，代入椭圆方程： 所以，设，则 又   及得： ，结合韦达定理可求出 ，  ，所以所求直线的方程为： 略 19. 在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°． （1）判断△ABC的形状； （2）若△ADC的三边长是连续三个正整数，求∠BAC的余弦值． 参考答案： 【考点】GZ：三角形的形状判断． 【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，则由α+C=90°，可得β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得： =， =，结合BD=DC，可得sin2C=sin2B，结合范围B，C∈（0，π），即解得B=C或B+C=90°，从而得解． （2）当B+C=90°时，，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾， 可得∠B=∠C，在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1，由勾股定理得n=4，由余弦定理或二倍角公式即可求得cos∠BAC的值． 【解答】解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β， 则由α+C=90°，∴β+B=90°， △ABD中，由正弦定理得：，即=， 同理得： =，…（2分） ∵BD=DC，∴，∴sinαsinC=sinβsinB， ∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinCcosC=sinBcosB，…（4分） 即sin2C=sin2B，因为B，C∈（0，π） 即B=C或B+C=90°                        …（6分） ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（7分） （2）当B+C=90°时，，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾， ∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．…（8分） 在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1，由（n+1）2=n2+（n﹣1）2 得n=4，…（10分） 由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC= 或cos∠BAC=﹣（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 20. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线与圆C的交点为O，M，