山西省太原市第二十一中学高二数学理联考试题含解析

山西省太原市第二十一中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设（是虚数单位），则  (     ) A．        B．           C．             D． 参考答案： B 略 2. 某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（    ） A．            B．       C．           D． 参考答案： A 3. 若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为（   ）  A．x2=–28y   B. y2=28x    C. y2=–28x      D. x2＝28y 参考答案： B 4. 点关于原点的对称点坐标为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： B 5. 已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（       ） A.         B.        C.3         D.5 参考答案： A 略 6. 已知命题“若x≥3,则”,则此命题的逆命题、否命题逆否命题中,正确命题的个数为 A.0           B.1            C.2                D.3 参考答案： B ∵，∴，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1.逆命题为“若，则”，显然是假命题，又逆命题与否命题互为逆否命题，所以否命题也是假命题.又原命题为真命题，所以逆否命题也是真命题.综上，选B.   7. 下列函数中最小正周期是的函数是 （A） （B） （C）  （D） 参考答案： 【知识点】三角函数的最小正周期 【答案解析】C解析：解：A、B选项由化一公式可知最小正周期为2π，C选项把绝对值内的三角函数化成一个角，再结合其图象可知最小正周期为π，D选项可验证为其一个周期，综上可知选C. 【思路点拨】求三角函数的最小正周期常用方法有公式法和图象法，公式法就是把三角函数利用三角公式化成一个角的三角函数，再利用公式计算，当化成一个角的三角函数不方便时，如绝对值函数，可用图象观察判断. 8. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是 （    ） A．    B．    C．   D． 参考答案： A 略 9. 椭圆的两个焦点坐标分别为F1（﹣8，0），F2（8，0），且椭圆上一点到两焦点的距离之和为20，则此椭圆的方程为（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得：c=8，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=10，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程． 【解答】解：∵两个焦点的坐标分别是F1（﹣8，0），F2（8，0）， ∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=8， ∴由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10， ∴由a，b，c的关系解得b=6， ∴椭圆方程是+=1． 故选：C． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题． 10. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，当二面角P﹣EC﹣D的平面角为时，AE=（　　） A．1 B． C．2﹣ D．2﹣ 参考答案： D 【考点】二面角的平面角及求法． 【分析】过点D作DF⊥CE于F，连接PF，由三垂线定理证出DF⊥CE，从而∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角，即∠PFD=．等腰Rt△PDF中，得到PD=DF=1．矩形ABCD中，利用△EBC与△CFD相似，求出EC=2，最后在Rt△BCE中，根据勾股定理，算出出BE=，从而得出AE=2﹣． 【解答】解：过点D作DF⊥CE于F，连接PF ∵PD⊥平面ABCD，∴DF是PF在平面ABCD内的射影 ∵DF⊥CE， ∴PF⊥CE，可得∠PFD为二面角P﹣EC﹣D的平面角，即∠PFD= Rt△PDF中，PD=DF=1 ∵矩形ABCD中，△EBC∽△CFD ∴=，得EC==2 Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE== ∴AE=AB﹣BE=2﹣ 故选：D 【点评】本题在特殊四棱锥中已知二面角的大小，求线段AE的长．着重考查了线面垂直的判定与性质和二面角的平面角及求法等知识，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图,AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△ PAC、△ PBC、△PAB、△ ABC中共有    个直角三角形。    参考答案： 4 略 12. 已知向量，则___________. 参考答案： 【分析】 根据向量夹角公式可求出结果. 【详解】． 【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 13. 过点P（3，1）作直线l将圆C：x2+y2﹣4x﹣5=0分成两部分，当这两部分面积之差最小时，直线l的方程是　   　． 参考答案： 14. 已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是      ． 参考答案： 15. 若直线y=ax-2与y=(a+2)x+1相互垂直，则a=      .                  参考答案： -1 16. 下列4个命题： ①“如果，则、互为相反数”的逆命题 ②“如果，则”的否命题 ③在中，“”是“”的充分不必要条件 ④“函数为奇函数”的充要条件是“” 其中真命题的序号是_________. 参考答案： ①② 17. 已知，，是三个不共面向量，已知向量=﹣+， =5﹣2﹣，则4﹣3=　　． 参考答案： ﹣13+2+7 【考点】空间向量的加减法． 【分析】利用向量运算性质即可得出． 【解答】解：4﹣3=4（﹣+）﹣3（（5﹣2﹣）=﹣13+2+7． 故答案为：﹣13+2+7． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨、原料不超过18吨．那么该企业分别生产多少吨的甲、乙两种产品，可获得最大利润，且最大利润是多少？ 参考答案： 设该企业生产甲、乙两种产品分别为x,y吨，可获利润z万元，则，. 由图可知，当时，z最大，且z. 即该企业生产甲产品3吨，乙产品4吨时，可获利润最大，最大利润为27万元. 19. 现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）． （1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？ 参考答案： 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=，由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ． （2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时，年总收入最大． 【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC． ∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB， ∴DE⊥OB，CF⊥OA． 又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF． ∴∠DOE=∠COF=， 又OC=OF?cos∠COF ∴S△COF=?OC?OF?sin∠COF=cosθ ∴S区域Ⅱ=（0＜θ＜）． 由，得cosθ=， ∵0＜θ＜，∴θ=． （2）∵S区域Ⅰ=，∴S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ． 记年总收入为y万元， 则y=30×cosθ=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜）， 所以y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=． 当0＜θ＜时，y'＞0；当时，y'＜0． 故当θ=时，y有最大值，即年总收入最大．　 20. （本小题满分12分） 如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，边BC在直线 MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作 正方形AEFG，其中AE=2，记∠FEN=，△EFC的面积为S. (Ⅰ)求S与之间的函数关系； (Ⅱ)当角取何值时S最大？并求S的最大值。 参考答案： 解：（Ⅰ）过点作，为垂足 由三角知识可证明，           　　　　　　　　　 ………2 分 在中， 所以………4 分 所以的面积 S  ，其中　　………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知                 　　…………………9分 由，得,  ∴　当，即时，　　　　　　…………………11分 因此，当时，的面积最大，最大面积为．　　……………12 分 略 21. 在等差数列中，已知，     （1）求数列的通项公式 ；      （2）当取什么值时，取最大值，并求出最大值. 参考答案： 22. 已知单位正方形，点为中点． 求直线与所成的角． 参考答案： 见解析． 解：设直线与平面所成的角为， ∵，，，， ∴，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ∴， ∴， ∴，即直线与平面所成的角为．