北京市石景山区2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含答案

石景山区2020-2021学年高二第二学期期末试卷 数学试卷 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3.对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A.，，成等比数列 B.，，成等比数列 C.，，成等比数列 D.，，成等比数列 4.袋中有10个除颜色以外完全相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球.从中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6.若a，b，c，，则“”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设函数f，则（ ） A.时取到极大值 B.时取到极小值 C.时取到极大值 D.时取到极小值 8.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数有三个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10.在一次知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测. 甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高. 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ） A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11.函数的导函数______. 12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是______（元） 13.已知在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是______. 14.若数列满足：，，则 15.已知集合.给定一个函数，定义集合，若对任意的成立，则称该函数具有性质“”（例如具有性质“”）. 下列函数：①，②；③，其中具有性质“”的函数的序号是______. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分7分） 已知是各项均为正数的等比数列，，. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和. 17.（本小题满分7分） 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名：乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （Ⅰ）设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率； （Ⅱ）设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列. 18.（本小题满分9分） 已知函数. （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，求在区间上的最大值及最小值. 19.（本小题满分8分） 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （Ⅰ）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求的分布列和数学期望. 20.（本小题满分9分） 已知函数，. （Ⅰ）求在点处的切线方程； （Ⅱ）若不等式恒成立，求k的取值范围. 石景山区2020—2021学年第二学期高二期末 数学试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C B D A D A 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 题号 11 12 13 14 15 答案 4760 5 ①② 三、解答题：本大题共5个小题，共40分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分7分） 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q， 由，，得， 即，解得（舍）或. 所以 （Ⅱ）， 因为，， 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则数列的前n项和. 17.（本小题满分7分） 解：（Ⅰ）由已知，得 所以事件A发生的概率为. （Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， 其中，. 故，， ，， 所以随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 18.（本小题满分9分） 解：（Ⅰ） 令，得或 若，则当时，；当时， .故在，单调递增，在单调递减； 若，在单调递增； 若，则当时，；当时， .故在，单调递增，在单调递减. （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为， 最大值为或. 不妨设最小值为m，最大值为M，则， 19.（本小题满分8分） 解：（Ⅰ）甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法， 记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M， 事件M共包含个基本事件，则， 所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为. （Ⅱ）方法一：X可能的取值为0，1，2，3， ，， ，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望 方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则，所以，，1，2，3. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望. 20.（本小题满分9分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为， ，， 因为，所以函数在点处的切线方程为 ，即. （Ⅱ）由，，则，即， 设， ，，，单调递增， ，，单调递减， 因为不等式恒成立，且， 所以，所以即可，故.