2022-2023学年广西壮族自治区柳州市第二十中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广西壮族自治区柳州市第二十中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是     （A） y= -ln|x|   （B） y=x3    （C）y=2|x|   （D） y=cosx- （ 参考答案： A 略 2. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为(　　　　)   A、 16    B、12　  C、 8     D、 4 参考答案： C 3. 设i为虚数单位，则复数= A．－4－3i         B．－4+3i       C．4+3i         D．4－3i 参考答案： A = ，选A.   4. 如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的值是（    ） A． B．3 C．2 　D． 参考答案： 5. 已知集合，则集合A中元素个数为（    ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 参考答案： C 【分析】 根据函数的定义域可解得x的范围，结合，即可求出A中元素的个数。 【详解】由题意得，即，解得，又， 所以满足条件的x为1,2,3,4,5，共5个，故选C 【点睛】本题考查函数的定义域问题，考查了一元二次不等式的解法，属基础题， 6. 函数的最小值为（    ） A.         B.               C.            D. 参考答案： C 7. 已知椭圆（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是x﹣y+5=0，弦的中点坐标是M（﹣4，1），则椭圆的离心率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率． 【解答】解：设直线x﹣y+5=0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 由x1+x2=﹣8，y1+y2=2， 直线AB的斜率k==1， 由，两式相减得： +=0， ∴=﹣×=1， ∴=， 由椭圆的离心率e===， 故选：D． 　 8. 已知i是虚数单位，则（1﹣2i）（2+i）=（　　） A．4﹣3i B．3﹣4i C．﹣3﹣4i D．﹣4+3i 参考答案： A 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：（1﹣2i）（2+i）=2+2+i﹣4i=4﹣3i． 故选；A． 9. 设集合A={x|x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　） A．（﹣∞，3） B．[2，3） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，2） 参考答案： D 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求． 【解答】解：集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=2x﹣1，x∈A}， 由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3）， 即B={y|﹣1＜y＜3}=（﹣1，3）， 则A∩B=（﹣1，2）． 故选：D． 10. 中，若，则的值为 A.2      B.4    C.   D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 向量在向量方向上的投影为        ． 参考答案： 12. 若曲线在点(1,1)处的切线与圆相切，则r=__________. 参考答案： 【分析】 求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可得到关于的方程，解方程即可得到答案。 【详解】由可得， 曲线在点处的切线方程的斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即， 又切线与圆相切， 圆心到切线的距离等于圆半径：，即 ，解得： 故答案为： 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，导数的几何意义：函数在某点的导数为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线与圆相切的几何关系，属于基础题型。 13. 双曲线2x2﹣y2=1的离心率为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】直接利用双曲线方程求出a、c，然后求解离心率． 【解答】解：由双曲线2x2﹣y2=1可知：a=，b=1，∴c==， 双曲线的离心率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线方程的应用，离心率的求法，考查计算能力． 14. 若函数在区间是减函数，则a的取值范围是               参考答案： 15. 设数列是首项为1的等差数列，前项和，，则公差为            ． 参考答案： 试题分析：，所以，即公差为. 考点：等差数列的性质与求和. 16. 已知向量与的夹角为120°，且，，则=　　． 参考答案： ﹣10 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可先求出，从而根据即可求出数量积的值． 【解答】解：； 又； ∴=． 故答案为：﹣10． 17. 已知正数满足，则的最大值为    　　    ． 参考答案： 8   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知等比数列的公比为，是的前项和． （1）若， ，求的值； （2）若，，有无最值？并说明理由； （3）设，若首项和都是正整数，满足不等式：，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？ 参考答案： （1）当时，，，                     2分 当时，，，               4分 所以（可以写成； （2）若，，则， 当时，，所以随的增大而增大， 而，此时有最小值为1，但无最大值．         6分 当时， ①时，，所以随的增大而增大， 即是偶数时，，即：；       8分 ②时，， 即：，所以随的增大而减小， 即是奇数时，，即：； 由①②得：，有最大值为，最小值为．       10分 （3）由得，所以，                  11分 ，随着的增大而增大，故， 即：，，得．                   13分 当时， ， 又，得共有个；                       15分 当时， 又，得共有个；                       17分 由此得：共有个．                               18分 19. （12分）（2012?石景山区一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程． 参考答案： 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．  专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，，解得． 即椭圆方程为 （Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉； 当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以 ． 原点到直线的AB距离， 所以三角形的面积． 由可得k2=2，∴， 所以直线或． 点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键． 20. （本小题满分12分）已知数列中,. （1）求证：是等比数列, 并求的通项公式； （2）数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立, 求的取值范围. 参考答案： （1）（2） 试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义出发，即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数，即，由通项得（2）先代入化简得，所以用错位相减法求和，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号数列，所以分类讨论：若为偶数, 则；若为奇数, 则，因此求交集得的取值范围 试题解析：（1）由数列中, ,可得,是首项为,公比为的等比数列,. 考点：等比数列定义，错位相减法求和，不等式恒成立 【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列； (2)等比中项法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列； (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列； (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列. 21. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3． （1）求角A的大小； （2）若c=3，求b的长． 参考答案： 【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解； （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值． 【解答】（本题满分为10分） 解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分） 因为：A=180°﹣B﹣C，（4分） 所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1… 因为：A∈（0，π）， 所以：A=． （2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3． 所以：sinB=，sinC=， 所以由正弦定理可得：b===2…（10分） 【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 22. 已知各项为正数的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＞1，6Sn=（an+1）（an+2）（n∈N*） （1）求数列{an}的通项公式； （2）求证： ++…+＜． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）6Sn=（an+1）（an+2）=an2+3an+2，得6Sn﹣1=（an﹣1+1）（an﹣1+2）=an﹣12+3an﹣1+2，两式作差，即可证明{an}为等差数列，从而求出an． （2）由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和，再放缩即可证明． 【解答】解：（1）∵6Sn=（an+1）（an+2）=an2+3an+2， ∴6Sn﹣1=（an﹣1+1）（an﹣1+2）=an﹣12+3an﹣1+2， ∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0， ∵an＞0，∴an﹣an﹣1=3， ∴{an}为等差数列， ∵6S1=（a1+1）（a1+2）=a12+3a1+2， ∴a1=2，