安徽省芜湖市第八中学高三数学理期末试题含解析

安徽省芜湖市第八中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，，，则（   ） A．         B．       C．      D． 参考答案： D , 故答案为：D.   2. 函数的零点所在的大致区间是 A.           B.            C.          D. 参考答案： B 3. 复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为（　　） A．1﹣2i B．1+2i C．i﹣1 D．1﹣i 参考答案： B 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：原式=﹣i=﹣（i﹣1）﹣i=1﹣2i， ∴复数z=+i3（i为虚数单位）的共轭复数为1+2i． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 4. 已知全集，集合 ，则（    ）               A.          B.         C.          D. 参考答案： B 因为集合，又，所以.所以 5. 抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（　　） 　 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 参考答案： D 考点： 抛物线的简单性质．  专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值． 解答： 解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为36π，∴圆的半径为6， 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=， ∴+=6， ∴p=8， 故选：D． 点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题． 6. 已知集合，则(   ) A．    B．    C．    D． 参考答案： C 7. 设z=1-i（i为虚数单位），则z2 += A．-1-i      B．-1+i  C．1-i    D．1+i 参考答案： C 略 8. 如果a＞b＞0，且a+b=1，那么在不等式①；②；③；④中，一定成立的不等式的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 参考答案： D 【考点】不等式的基本性质． 【分析】通过特殊值判断①②，通过通分判断③，通过基本不等式的性质判断④． 【解答】解：如果a＞b＞0，且a+b=1， 那么①，②，令a=0.8，b=0.2，显然不成立，故①②错误； ③+==，故错误； ④1=a+b＞2，故， 故④正确， 故选：D． 9. 设偶函数满足，则不等式＞0的解集为_____. 参考答案： 10. 若复数是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值为    A.        B．       C．       D.2 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在ABC中，，，若（O是ABC的外心），则的值为　　            　 参考答案： 略 12. 已知正方形ABCD边长为1，E是线段CD的中点，则__________． 参考答案： 【分析】 由已知条件，将进行拆分，根据向量加法原则及几何意义，可将其转化为，即得解. 【详解】由题意可得：； 故： 故答案为： 【点睛】本题考查了学生对平面向量的应用，向量的加法，数量积等知识点，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 13. 已知向量，满足||=1，||=3，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则|﹣|等于　　　　　　． 参考答案： 考点：平面向量数量积的运算． 专题：对应思想；综合法；平面向量及应用． 分析：根据投影相等列出方程解出向量夹角，求出数量积，代入模长公式计算． 解答：解：设夹角为θ，则cosθ=3cosθ，∴cosθ=0，． ∴=0，∴（）2==10．∴|﹣|=． 故答案为． 点评：本题考查了平面向量的数量积运算及模长运算，属于基础题． 14. 若平面向量，满足，平行于轴，，则=          . 参考答案： 略 15. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于              ． 参考答案： 16. 已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有           参考答案： 10 17. 已知向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是     ． 参考答案： 答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80％，二等品率为20％：乙产品的一等品率为90％，二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．        （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x的分布列：        （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 参考答案： 略 19. （2017?衡阳一模）已知函数f（x）=xlnx+a|x﹣1|． （Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函数f（x）的单调区间和极小值、最小值； （Ⅱ）由已知可得：f（1）=0，故1为函数的一个零点；对a进行分类讨论，求出不同情况下，满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵a=0时，f（x）=xlnx， ∴f′（x）=1+lnx，x＞0， ∵f′（x）＞0解得x＞，f′（x）＜0解得0＜x＜， ∴函数f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）， f（x）在x=取得极小值﹣． （Ⅱ）由已知可得：f（1）=0，故1为函数的一个零点； 若a=0，则函数仅有一个零点，不满足条件； 若a＞0，则 当x＞1时，f（x）=xlnx+ax﹣a，f′（x）=lnx+1+a＞0恒成立，此时函数为增函数，不存在零点， 当0＜x＜1时，f（x）=xlnx﹣ax+a，f′（x）=lnx+1﹣a，若此时函数存在零点，则lnx+1﹣a=0有解， 即a=lnx+1＜1有解，即0＜a＜1； 若a＜0，则 当0＜x＜1时，f（x）=xlnx﹣ax+a，f′（x）=lnx+1﹣a＞0恒成立，此时函数为增函数，不存在零点， x＞1时，f（x）=xlnx+ax﹣a，f′（x）=lnx+1+a，若此时函数存在零点，则lnx+1+a=0有解， 即a=﹣（lnx+1）＜﹣1有解，即a＜﹣1； 综上可得：0＜a＜1，或a＜﹣1． 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 20. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4． （1）证明：平面ADE⊥平面ACD； （2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD； （2）根据三棱锥的体积公式，确定体积最大时的条件，建立空间坐标系，利用向量法即可得到结论． 【解答】（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，…1分， 因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC                      …2分， 因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD                   …3分 因为CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BC∥DE， 所以DE⊥平面ACD，…4分， 因为DE?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面ACD            …5分 （2）因为DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===， ，当且仅当AC=BC=2时等号成立                               …8分 如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz， 则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0）， 则=（﹣2，2，0），=（0，0，1）， =（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分， 设面DAE的法向量为=（x，y，z）， 则， 取=（1，0，2）， 设面ABE的法向量为=（x，y，z）， 则， 取=（1，1，0），…12分， 则cos＜＞==， 结合图象可以判断二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣，…13分 【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法． 21. 已知圆M：（x+）2+y2=16，点N（，0），点P是圆上任意一点，线段NP的垂直平分线MP于点Q，设动点Q的轨迹为C （Ⅰ）求C的方程 （Ⅱ）设直线l：y=kx+m与轨迹C交于G，H两点，O为坐标原点，若△GOH的重心恰好在圆x2+y2=上，求m的取值范围． 参考答案： 考点：直线和圆的方程的应用． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（Ⅰ）如图，通过|QP|=|QN|，|MQ|+|QN|=|MP|=4，可知点Q的轨迹是以M、N为焦点，长轴长等于4的椭圆，即得椭圆C的方程； （Ⅱ）设点G（x1，y1），H（x2，y2），联立直线l与椭圆C的方程，由韦达定理得x1+x2，从而可得y1+y2，及△GOH的重心的坐标并将其代入圆的方程，通过计算得＜1+4k2（k≠0），利用不等式即得实数m的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）如图，∵|QP|=|QN|，∴|MQ|+|QN|=|MP|=4， 故点Q的轨迹是以M、N为焦点，长轴长等于4的椭圆， 所以椭圆C的方程为； （Ⅱ）设点G（x1，y1），H（x2，y2）， 方程联立 得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 由韦达定理，得x1+x2=，所以y1+y2=， 所以△GOH的重心的坐标为（，）， ∴[]2+[]2=， 整理得：   ① 依题意△=（8mk）2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0，得m2＜1+4k2   ② 由①、②易得k≠0， 设t=1+16k2 （t＞1），则， 所以m2==，当且仅当t=3取等号， 所以实数m的取值范围是． 点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查韦达定理、基本不等式、直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，注意积累解题方法，属于中档题． 22. 过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且． （1）求p的值； （2）抛物线C上一点，直线（其中）与抛物线C交于A，B两个不同的点（均与点Q不重合），设直线QA，QB的斜率分别为，，．动点H在直线l上，且满足，其中O为坐标原点．当线段最长时，求直线l的方程． 参考答案： (1) (2) 【分析】 （1）设直线方程为，