高考数学 4.3 平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积定义定义图示图示范围范围共线与垂直共线与垂直已知两个非零已知两个非零向量向量a和和b,作作 =a，=b,则则_就就是是a与与b的夹角的夹角 设设是是a与与b的的夹角夹角,则则的的取值范围是取值范围是_=0=0或或=180180_,_,_ab【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)向量的夹角向量的夹角:AOBAOB00180180ab=90=90(2)(2)平面向量的数量积平面向量的数量积:定义定义设两个非零向量设两个非零向量a,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量积,记作记作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘积的乘积|a|b|cos|cos|a|cos|cos|b|cos|cos|b|cos|cos(3)(3)数量积的性质数量积的性质:设设a,b都是非零向量都是非零向量,e是单位向量是单位向量,为为a与与b(或或e)的夹角的夹角.则则ea=ae=_.=_.cos=_.cos=_.ab_._.|a|cos|cos|a|b|(4)(4)数量积的运算律数量积的运算律:交换律交换律:ab=ba.数乘结合律数乘结合律:(:(a)b=_=_.=_=_.分配律分配律:a(b+c)=_.)=_.(ab)a(b)ab+ac(5)(5)平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示:设向量设向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),向量向量a与与b的夹角为的夹角为,则则数量积数量积ab=_=_模模|a|_夹角夹角cos cos _向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=02.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记(1)(1)a与与b为两非零向量为两非零向量,则则ab_._.(2)(2)当当a与与b同向时同向时,ab=|=|a|b|.|.当当a与与b反向时反向时,ab=-|=-|a|b|,|,特别地特别地,aa=_=_或者或者|a|=_,|=_,0a=_.=_.ab=0=0|a|2 20 0(3)(3)平面向量数量积运算的常用公式平面向量数量积运算的常用公式(a+b)()(a-b)=)=a2 2-b2 2.(a+b)2 2=a2 2+2+2ab+b2 2.(a-b)2 2=_.=_.a2 2-2-2ab+b2 23.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法:基底法基底法;坐标法坐标法.(2)(2)常用思想常用思想:方程思想方程思想,数形结合思想数形结合思想,转化与化归思想转化与化归思想.(3)(3)记忆口诀记忆口诀:乘积结果为数量乘积结果为数量,坐标运算是良方坐标运算是良方.横纵坐标分别乘横纵坐标分别乘,相加求和积充当相加求和积充当.【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负且有正有负.(.()(2)(2)若若ab=0,=0,则必有则必有ab.(.()(3)(3)两个向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量果是向量.(.()(4)(4)若若ab0,0,则向量则向量a,b的夹角为钝角的夹角为钝角.(.()【解析】【解析】(1)(1)正确正确.由向量投影的定义可知由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结当两向量夹角为锐角时结果为正果为正,为钝角时结果为负为钝角时结果为负.(2)(2)错误错误.当当a与与b至少有一个为至少有一个为0时得不到时得不到ab.(3)(3)正确正确.由数量积与向量线性运算的意义可知由数量积与向量线性运算的意义可知,正确正确.(4)(4)错误错误.当当ab=-|=-|a|b|时时,a与与b的夹角为的夹角为.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)(必修必修4P1044P104例例1 1改编改编)已知已知|a|=2,|=2,|b|=4,|=4,ab=4 ,=4 ,则则a与与b的夹的夹角角=.【解析】【解析】因为因为ab=|=|a|b|cos,|cos,所以所以cos=cos=又因为又因为0180,0180,故故=30.=30.答案答案:3030(2)(2)(必修必修4P1054P105例例4 4改编改编)已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若若a+k+kb与与a-k-kb互相垂直互相垂直,则实数则实数k=k=.【解析】【解析】由已知由已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若互相垂直若互相垂直,则则(a+k+kb)(a-k-kb)=0,)=0,即即a2 2-k-k2 2b2 2=0,=0,即即5-25k5-25k2 2=0,=0,即即k k2 2=,=,所以所以k=.k=.答案答案:3.3.真题小试真题小试 感悟考题试一试感悟考题试一试(1)(2014(1)(2014新课标全国卷新课标全国卷)设向量设向量a,b满足满足|a+b|=,|=,|a-b|=,|=,则则ab=(=()A.1 B.2 C.3 D.5A.1 B.2 C.3 D.5【解题提示】【解题提示】将将|a+b|,|,|a-b|两边平方两边平方,联立方程求解联立方程求解ab.【解析】【解析】选选A.A.因为因为|a+b|=,|=,|a-b|=,|=,所以所以a2 2+b2 2+2+2ab=10,=10,a2 2+b2 2-2-2ab=6,=6,联立方程解得联立方程解得ab=1,=1,故选故选A.A.(2)(2014(2)(2014四川高考四川高考)平面向量平面向量a=(1,2),=(1,2),b=(4,2),=(4,2),c=m=ma+b(mR),(mR),且且c与与a的夹角等于的夹角等于c与与b的夹角的夹角,则则m=m=.【解题提示】【解题提示】先求出先求出c的坐标的坐标,再代入向量夹角公式再代入向量夹角公式,解方程即可求出解方程即可求出m m的值的值.【解析】【解析】由于由于a=(1,2),=(1,2),b=(4,2),=(4,2),所以所以c=m=ma+b=(m+4,2m+2),=(m+4,2m+2),又由于又由于c与与a的夹角等于的夹角等于c与与b的夹角的夹角,即即coscos=cos=cos,也就是也就是即得即得解得解得m=2.m=2.答案答案:2 2(3)(2015(3)(2015青岛模拟青岛模拟)已知已知|a|=2,|=2,向量向量a与与b的夹角是的夹角是 ,则则a在在b上上的投影是的投影是.【解析】【解析】a在在b上的投影是上的投影是|a|cos =|cos =答案答案:-考点考点1 1 平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015湛江模拟湛江模拟)已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为1,1,设设 =a,=,=b,=,=c,则则ab+bc+ca=.(2)(2015(2)(2015大庆模拟大庆模拟)已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,点点E E是是ABAB边上的动边上的动点点.则则 的值为的值为,的最大值为的最大值为.【解题提示】【解题提示】(1)(1)利用数量积的定义求解利用数量积的定义求解.要注意夹角的大小要注意夹角的大小.(2)(2)结合已知条件建系结合已知条件建系,利用坐标求解利用坐标求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)如图如图,得得a与与b,b与与c,c与与a的夹角都是的夹角都是120,120,又又|a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,所以原式所以原式=11cos120+11=11cos120+11cos120+11cos120cos120+11cos120答案答案:-(2)(2)如图所示如图所示,以以AB,ADAB,AD所在的直线分别为所在的直线分别为x,yx,y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系,设设E(t,0),0t1,E(t,0),0t1,则则D(0,1),B(1,0),C(1,1),=(t,-1),=(0,D(0,1),B(1,0),C(1,1),=(t,-1),=(0,-1),-1),所以所以 =1.=1.又因为又因为 =(1,0),=(1,0),所以所以 =t1.=t1.答案答案:1 11 1【一题多解】【一题多解】解答本题解答本题,你知道还有几种解法你知道还有几种解法?方法一方法一:选取选取 作为基底作为基底,设设 0t1,0t1,则则=0+1=1.=0+1=1.=t1.=t1.答案答案:1 11 1方法二方法二:利用几何意义可知利用几何意义可知=1.=1.设设则则=|t|1.=|t|1.答案答案:1 11 1【易错警示】【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)易出现如下错误易出现如下错误在解题过程中在解题过程中,只看到只看到ABCABC是等边三角形是等边三角形,就误认为就误认为a与与b,b与与c,a与与c的的夹角均为夹角均为6060从而错解从而错解.【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)中中,当当E E是是ABAB的中点时的中点时,试求试求 上的投影上的投影.【解析】【解析】方法一方法一:如图如图,过点过点E E作作EFDC,EFDC,垂足为垂足为F,F,由投影的定义知由投影的定义知,上的投影是上的投影是 .方法二方法二:如图如图,向量向量 的夹角是的夹角是EDC,EDC,所以所以 上的投影是上的投影是|cosEDC=|cosEDC=【规律方法】【规律方法】向量数量积的两种计算方法向量数量积的两种计算方法(1)(1)当已知向量的模和夹角当已知向量的模和夹角时时,可利用定义法求解可利用定义法求解,即即ab=|a|b|cos.|cos.(2)(2)当已知向量的坐标时当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解可利用坐标法求解,即若即若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2.【变式训练】【变式训练】已知已知a=(1,2),2=(1,2),2a-b=(3,1),=(3,1),则则ab=(=()A.2 B.3 C.4 D.5A.2 B.3 C.4 D.5【解析】【解析】选选D.D.由已知得由已知得a(2(2a-b)=2)=2a2 2-ab=2|2|a|2 2-ab=25-=25-ab=3+2,=3+2,故故ab=10-5=5.=10-5=5.【加固训练】【加固训练】1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知两个单位向量已知两个单位向量a,b的夹的夹角为角为60,60,c=t=ta+(1-t)+(1-t)b,若若bc=0,=0,则则t=t=.【解析】【解析】由由c=t=ta+(1-t)+(1-t)b得得,bc=t=tab+(1-t)+(1-t)b2 2=0,=0,整理得整理得t|t|a|b|cos60+(1-t)|cos60+(1-t)|b|2 2=0,=0,化简得化简得 t+1-t=0,t+1-t=0,所以所以t=2.t=2.答案答案:2 22.(20132.(2013新课标全国卷新课标全国卷)已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为2,E2,E为为CDCD的中点的中点,则则 =.【解析】【解析】以以A A为原点为原点,以以AB,ADAB,AD为为x,yx,y轴建系轴建系,则则A(0,0),B(2,0),D(0,2),A(0,0),B(2,0),