广西壮族自治区桂林市永福中学高二数学理联考试题含解析

广西壮族自治区桂林市永福中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 参考答案： C 在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 2. 若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（　　） A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞） D．（0，﹣1）∪（3，+∞） 参考答案： C 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解． 【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）， ∴A∩B=（3，+∞） 故选C． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题． 3. 已知集合，则集合 A.        B.         C.        D. 参考答案： B 略 4. 在中，，且，点满足等于（  ） A．            B．           C．             D． 参考答案： B 略 5. 圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．4 参考答案： C 【考点】圆的一般方程． 【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆． 【分析】将圆方程化为标准方程，找出半径即可． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1=0变形得：（x﹣1）2+（y+2）2=4， ∴圆的半径为2． 故选：C． 【点评】本题考查了圆的标准方程，将所求圆方程化为标准方程是解本题的关键，是基础题． 6. 在△ABC中， =， =．若点D满足=（　　） A． + B． C． D． 参考答案： A 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得． 【解答】解：由题意可得= == == 故选A 7. 一个年级有22个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为19的学生留下进行交流，这里运用的是 A. 分层抽样法 B. 抽签法 C. 随机数表法 D. 系统抽样法 参考答案： D 【分析】 根据系统抽样的定义进行判断即可． 【详解】每个班同学以1﹣50排学号，要求每班学号为19的同学留下来交流， 则数据之间的间距差相同，都为50， 所以根据系统抽样的定义可知，这里采用的是系统抽样的方法． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抽样的定义和应用，要求熟练掌握简单抽样，系统抽样和分层抽样的定义，以及它们之间的区别和联系，比较基础． 8. 下列式子不正确的是                                     (      ) A．      B． C.             D． 参考答案： C 略 9. 函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（  ）   A.       B．        C.        D． 参考答案： B 10. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门.则不同的分配方案有（    ）   A. 114种     B. 38种    C. 108种    D. 36种 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设出双曲线方程求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：设双曲线方程为：，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线， 可得C（c，2c）， 代入双曲线方程：， 即． 可得， 解得e2=3+2， ∴e=． 故答案为：． 12. 已知an=an﹣1﹣an﹣2（n≥3），a1=1，a2=2，a2016=　    　． 参考答案： ﹣1 【考点】数列递推式． 【分析】由a1=1，a2=2，an=an﹣1﹣an﹣2（n≥3），求得a3，a4，a5，a6，a7，…，可知数列{an}是以6为周期的周期数列，a2016=a336×6=a6=﹣1． 【解答】解：由a1=1，a2=2，an=an﹣1﹣an﹣2（n≥3），得 a3=a2﹣a1=2﹣1=1， a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1， a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2， a6=a5﹣a4=﹣2﹣（﹣1）=﹣1， a7=a6﹣a5=﹣1﹣（﹣2）=1， … 由上可知，数列{an}是以6为周期的周期数列， 则a2016=a336×6=a6=﹣1． 故答案为：﹣1． 13. 设椭圆 (a＞b＞0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是           ． 参考答案： 略 14. 直二面角α－－β的棱上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与成450，AB，则∠BAC= 。 参考答案： 略 15. 已知数对满足，则的最大值是___________. 参考答案： 6_ 略 16. 设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是___________. 参考答案： 略 17. 记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y=2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是　  　． 参考答案： 3 【考点】函数的值域；对数函数的图象与性质． 【分析】先去绝对值原函数变成y=，所以可将区间[﹣2，a]分成[﹣2，0），和[0，a]，所以求出每种情况的y的取值范围：x∈[﹣2，0）时，1＜y≤4；而x∈[0，a]时，1≤y≤2a，所以讨论0≤a≤2，和a＞2两种情况，并求出每种情况下函数的值域，从而求出区间[m，n]的长度的最小值． 【解答】解：； ∴①x∈[﹣2，0）时，； ∴此时1＜y≤4； ②x∈[0，a]时，20≤2x≤2a； ∴此时1≤y≤2a，则： 0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3； a＞2时，区间长度为2a﹣1＞3； ∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3． 故答案为：3． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为. （1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率； （2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止.设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的分布列. 参考答案： （1）；（2）分布列见解析. 【分析】 （1）由题意可知：甲同学投篮4次，投进的次数服从二项分布，根据二项分布的特点，可以求出甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率； （2）根据题意可以求出X的可能取值为，分别求出相应取值时概率的大小，然后列出分布列. 【详解】（1）由题意可知：甲同学投篮4次，投进的次数服从二项分布，所以甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率为； （2）由题意可知的可能取值为， ， ， ， ， ，所以的分布列为： X 2 3 4 5 6 P 19. （12分）设集合 （1）若，求实数的值；（2）若,求实数的取值范围   参考答案： 解：（1）由        2分        又 由        4分 当 综上，a的值为-1或3       6分 （2）对于集合B，△=     8分 ①△<0，即满足条件 ②△=0即 ③△>0才能满足条件 则由韦达定理有 综上，a的取值范围是                    12分 20. （本小题满分10分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面EDB； （Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小． 参考答案： （本小题满分10分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点． （Ⅰ）证明：PA∥平面EDB； （Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小． 证明： （Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO， ∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点． ∴OE为△PAC的中位线．  ∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD， ∴PA∥平面EDB.                    ……………4分 （Ⅱ）方法一： ∵AD∥BC，∴就是异面直线AD 与BE所成的角或补角. ………6分   ∵PD⊥平面ABCD， BC平面ABCD ，∴BC⊥PD.又四边形ABCD为矩形， ∴BC⊥DC．又因为PDDC= D，所以BC⊥平面PDC.   在BCE中，BC＝，EC＝，∴.     即异面直线AD 与BE所成角大小为．                  ……………10分 略 21. 把4个小球随机地投入4个盒子中，设表示空盒子的个数，的数学期望= 参考答案： 81/64 22. 已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0} （Ⅰ）若A∩B=?，A∪B=R，求实数a的值； （Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题． 【专题】计算题；阅读型． 【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B=?，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值； （Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}， 由A∩B=?，A∪B=R，得，得a=2， 所以满足A∩B=?，A∪B=R的实数a的值为2； （Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A?B，且A≠?，所以结合数轴可知， a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4， 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪ 由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°， ，，，A1E=3， 故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D． 所以三菱锥C﹣A1DE的体积为： ==1． 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三菱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．