江苏省连云港市桃林中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

江苏省连云港市桃林中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 A．   B．    C．    D．   参考答案： C 2. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x， 且f（2）=1，则不等式f（x）＜x2﹣1的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞） 参考答案： D 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用． 【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣（x2﹣1），求出函数g（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求出解集． 【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x2﹣1）， 则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣x， ∵f′（x）＜x， ∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0， 即函数g（x）为减函数， 且g（2）=f（2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0， 即不等式f（x）＜x2﹣1等价为g（x）＜0， 即等价为g（x）＜g（2）， 解得x＞2， 故不等式的解集为{x|x＞2}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的求解以及构造函数，利用导数研究函数的单调性问题，是综合性题目． 3. 函数f（x）=的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项． 【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项； 又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方， 当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合， 故选A． 【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值． 4. 已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，……，则等于（    ）                      参考答案： C 5. 已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为 （A）          （B）               （C）              （D） 参考答案： D 略 6. 已知,且，则 （    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 7. 已知，则的值为 A.-3     B. 3   C.  -3或3       D.   -1或3 参考答案： D 8. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（      ）   参考答案： B 略 9. 曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=5．设点P，Q分别在曲线C1和C2上运动，则|PQ|的最小值为（　　） 　 A． B． 2 C． 3 D． 4 参考答案： A 10. 函数的图象大致形状是                   参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在中，是的中点，，点在上且满足,则的值为     参考答案： 略 12. 计算_____________________. 参考答案： -20 13. 已知函数，给定条件：，条件： ，若是的充分条件，则实数的取值范围为    ▲    ． 参考答案： 14. 设P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是　　． 参考答案： ﹣1 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 设P（x0，）（x0＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四点共圆，可得∠APB=，由数量积定义可求． 解答： 解：设P（x0，）（x0＞0），则点P到直线y=x和y轴的距离分别为 |PA|==，|PB|=x0． ∵O、A、P、B四点共圆，所以∠APB=π﹣∠AOB= ∴==﹣1 故答案为：﹣1 点评： 本题考查平面向量数量积的运算，涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质，属中档题． 15. 已知sin－3cos=0，则                。 参考答案： 略 16. 函数f（x）=sin2x﹣2sin2x的最大值为　    ． 参考答案： 2﹣   【考点】三角函数中的恒等变换应用． 【分析】利用三角恒等变形公式，函数f（x）=2sin（2x+）﹣． 【解答】解：函数f（x）=sin2x﹣2sin2x=sin2x﹣2×=sin2x+=2sin（2x+）﹣． 故答案为：2﹣． 　 17. 已知直线L经过定点A(4,1),在x轴，y轴上的截距分别为a,b,且a,b都大于零，则a+b的最小值为_________________. 参考答案： 9 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (14分)已知为实数，数列满足,当时， (1)当时，求数列的前100项的和； (2)证明：对于数列，一定存在，使； (3)令,当时，求证：                   参考答案： 解：(1)当时，由题意知数列的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1， 从而  ………………(3分) .………………(5分) (2)证明：①若则题意成立…………………(6分) ②若此时数列的前若干项满足,即. 设,则当时，,从而此时命题成立……(8分) ③若，由题意得，则有②的结论知此时命题也成立． 综上所述，原命题成立……………(9分) (3)当时，因为 所以  ……(10分) 因为，所以只要证明当时不等式成立即可． 而、  …………………………(12分) ①当时， …（13分） ②当由于，所以 综上所述：原不等式成立………………………(14分) 19. （本题满分13分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被轴截得的弦长为，圆C的面积小于13． （Ⅰ）求圆C的标准方程； （Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由． 参考答案： （I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知   解得a=1 或 a=，   ……………………………………… 3分 又∵ S=πR2<13， ∴ a=1， ∴ 圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4．    …………………………………… 6分 （Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又∵ l与圆C相交于不同的两点， 联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， …………………9分 ∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0， 解得或． x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=， ，， 假设∥，则， ∴ ， 解得，假设不成立． ∴ 不存在这样的直线l．   ……………………………………………………13分 20. （本小题满分10分） 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA (1)    求A (2)    若a=2，△ABC的面积为，求b,c 参考答案： 21. 已知函数． （1）解不等式； （2），使成立，求的取值范围． 参考答案： （1）当即时，，∴， 当即时，，∴， ∴不等式的解集为； （2）∵，∴， ∵，使不等式成立，∴大于的最小值， ∴. 22. 已知函数 （1）讨论f(x)的单调性； （2）若方程有两个不相等的实数根，求证： 参考答案： （1）时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数  （2）证明见解析 【分析】 （1）对求导，得到，根据的，对进行分类，分为，和；（2）令，先说明当时，不符合题意，再研究当时，利用导数得到最大值，根据有两个零点，得到，易得，再利用导数证明时，，从而确定范围为，再构造函数，利用导数得到在上单调递减，从而得以证明. 【详解】（1）易知的定义域为，且， 时，在上恒正，所以在上单调递增， 时，对于， ①当，即时，，在上是增函数； ②当，即时，有两个正根， 所以，，单调递增， ，，单调递减 综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数  （2）令， 方程有两个不相等的实根函数有两个零点， 由 定义域为且 ①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意； ②当时，得， 在上单调递增，在上单调递减 要使有两个零点，则，由解得 此时 易知当时， ， 令，所以， 时，在为增函数， 在增函数，， 所以，即 所以 函数在与各存在一个零点 综上所述，. ∴证明证明时，成立 设，则 易知在上递减，，在上单调递减 ， 所以. 【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，利用导数求函数的极值、最值，函数与方程，零点存在定理，属于难题.