江苏省泰州市边城中学高三数学文月考试题含解析

江苏省泰州市边城中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．1个    B．2个    C．3个    D．无穷个 参考答案： C 2. 已知函数的图象与直线（）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，，则（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 参考答案： B 由题意得直线过定点，且斜率k>0,由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，所以，，则切线方程过点，所以， 而=。选B.   3. 已知直线的方程为，则“直线平分圆的周长”是“”的（    ） A． 充分不必要条件        B．必要不充分条件       C. 充要条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 4. 函数的值域为（    ） A．           B．           C．           D． 参考答案： D 5. 黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，…，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件 (     ) A．A=30°，B=45° B． C．B=60°，c=3 D．C=75°，A=45° 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【专题】综合题． 【分析】A、由选项中的条件A和B的度数，求出sinA和sinB的值，由a的值，利用正弦定理即可求出b的值，作出判断； B、由c，cosC及a的值，利用余弦定理即可求出b的值，作出判断； C、由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值，作出判断； D、由A和C的度数求出B的度数，利用a，sinA和sinB的值，根据正弦定理即可求出b的值，作出判断． 【解答】解：A、由a=2，sin30=，sin45=，根据正弦定理得：b==2≠，故此选项错误； B、由a=2，c=1，cosC=，利用余弦定理得：1=4+b2﹣b，即3b2﹣2b+9=0， ∵△=4﹣108=﹣104＜0，所以此方程无解，故此选项错误； C、由a=2，c=3，cosB=，根据余弦定理得：b2=13﹣6=7，解得b=≠，故此选项错误； D、由B=180°﹣75°﹣45°=60°，又a=2，根据正弦定理得：=，则b=，故此选项正确， 所以选项D可以作为这个习题的其余已知条件． 故选D 【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，牢记特殊角的三角函数值及三角形的内角和定理，是一道中档题． 6. 在区间[﹣1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：几何概型． 专题：计算题． 分析：先将二次方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的s，t必须满足的条件列出来，再在坐标系sot中画出区域，最后求出面积比即可． 解答： 解：由题意可得，，其区域是边长为2的正方形，面积为4 由二次方程x2+2sx+t=0有两正根可得，其区域如图所示 即其区域如图所示，面积S=s2ds== 所求概率P= 故选B 点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是利用积分求出指定事件的面积 7. 已知函数 ,若则实数的取值范围是（   ） A      B      C     D 参考答案： C 因为函数为奇函数，且当时，为增函数，所以为增函数，所以由得，即，解得，选C. 8. 若方程的取值范围是 A．(－∞，－ 1) B．[0，1) C．[，＋∞) D．(－∞，－1)∪(，＋∞) 参考答案： D 略 9. 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （     ）                                               A．10             B．20             C．30            D．40 参考答案： B 10. 已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若是在内的两根，则则的值为 A．      B.      C．    D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是        . 参考答案： 当时可以成立； 当时，开口向上，，              解得 当时，开口向下，             解得综合以上得： 12. （13）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，面积，则b等于       ． 参考答案： 5 13. 已知tan=，tan（）=，则tan=           ． 参考答案： 14. 已知函数， ①若a=1，f（x）的最小值是　﹣　； ②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣1，﹣]∪[0，+∞） 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断． 【分析】①若a=1，分别求出当x≥1时，函数递增，可得最小值f（1）；当x＜1时，配方求得最小值，比较即可得到所求最小值； ②若f（x）恰好有2个零点，讨论a=0，a＞0，a＜0，再由单调性和二次方程的根的情况，即可得到所求a的范围． 【解答】解：①若a=1，当x≥1时，f（x）=log2x+1递增，可得x=1时，取得最小值1； 当x＜1时，f（x）=x2+3x+2=（x+）2﹣，当x=﹣时，取得最小值﹣． 综上可得，f（x）的最小值为﹣． ②若f（x）恰好有2个零点， 由f（x）在[1，+∞）递增，在[1，+∞）内最多一个零点， 当a=0时，f（x）=0时，可得x=0，1，满足题意； 当a＞0时，x≥1时，f（x）≥log21+a=a＞0，无零点； x＜1时，f（x）=（x+a）（x+2a）有两个零点，即有﹣a＜1，且﹣2a＜1，成立； 当a＜0时，x≥1时，f（x）≥log21+a=a，有一个零点2﹣a； x＜1时，f（x）=（x+a）（x+2a）恰有一个零点，若为﹣a，则﹣a＜1，﹣2a≥1，且﹣a≠2﹣a， 解得﹣1＜a≤﹣； 若为﹣2a，则﹣2a＜1，﹣a≥1，且﹣2a≠2﹣a，不成立． 综上可得，a的范围是﹣1＜a≤﹣或a≥0． 故答案为：﹣，[﹣1，﹣]∪[0，+∞）． 15. 递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn最大，则n＝______． 参考答案： 7或8    16. 如图，已知函数y=2kx（k＞0）与函数y=x2的图象所围成的阴影部分的面积为，则实数k的值为　    　． 参考答案： 2 【考点】6G：定积分在求面积中的应用． 【分析】先联立两个解析式解方程，得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让其等于，列出关于k的方程，求出解即可得到k的值． 【解答】解：直线方程与抛物线方程联立 解得x=0，x=2k，得到积分区间为， 由题意得： ∫02k（2kx﹣x2）dx=（kx2﹣x3）|02k=4k3﹣k3=， 即k3=8，解得k=2， 故答案为：2 17. 已知向量，则向量的夹角为 。 参考答案： ，，所以，所以。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）已知函数 （1）求函数单调递增区间； （2）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围． 参考答案： ⑴． ，所以在上是增函数， …………………………2分 又，所以不等式的解集为， 故函数的单调增区间为．………………………………………………6分 ⑶因为存在，使得成立， 而当时，， 所以只要即可． 又因为，，的变化情况如下表所示： 减函数 极小值 增函数 所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值 ，的最大值为和中的最大值． 因为， 令，因为， 所以在上是增函数． 而，故当时，，即； 所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 19. 如图四边形OACB中，分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足． （1）证明：. （2）若，求四边形OACB面积的最大值． 参考答案： （1）证明：由题意 由正弦定理得： （2）解：，，为等边三角形 当且仅当时，取最大值 20. 某皮革公司旗下有许多手工足球作坊为其生产足球，公司打算生产两种不同类型的足球，一款叫“飞火流星”，另一款叫“团队之星”．每生产一个“飞火流星”足球，需要橡胶100g，皮革300g；每生产一个“团队之星”足球，需要橡胶50g，皮革400g．且一个“飞火流星”足球的利润为40元，一个“团队之星”足球的利润为30元．现旗下某作坊有橡胶材料2.5kg，皮革12kg． （1）求该作坊可获得的最大利润； （2）若公司规定各作坊有两种方案可供选择，方案一：作坊自行出售足球，则所获利润需上缴10%方案二：作坊选择由公司代售，则公司不分足球类型，一律按相同的价格回收，作坊每个球获得30元的利润．若作坊所生产的足球可全部售出，请问该作坊选择哪种方案更划算？请说明理由． 参考答案： 【考点】简单线性规划． 【分析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个，“团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．则即，目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．由图可求该作坊可获得的最大利润． （2）分别求出两种方案的利润即可． 【解答】【解析】（1）设该作坊生产“飞火流星”足球x个， “团队之星”足球y个，作坊获得的利润为z元．   则，即， 目标函数z=40x+30y，（x，y∈N）．… 由图可知，当直线l经过点（16，18）时， z取得最大值1180，即该作坊可获得的最大利润为1180元．… （2）若作坊选择方案一，则其收益为1180×（1﹣10%）=1062元；… 若作坊选择方案二，则作坊生产的足球越多越好，设其生产的足球个数为t， 则t=x+y，（x，y∈N），由（1）知， 作图分析可知，当x=16，y=18时，t取得最大值，此时作坊的收益为（16+18）×30=1020元， 故选择方案一更划算．… 21. 已知函数． （Ⅰ）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）在区间上的值域． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，由条件解方程可得a，b，求得切点和切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （Ⅱ）求出函数的导数，求得f（x）在区间上的单调区间，可得极小值也为最小值，求得端点处的函数值，可得最大值，即可得到函数的值域． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ax2+blnx的导数为f′（x）=2ax+， 由f（1）=，f′（2）=1，可得a=，4a+=1， 解方程可得b=﹣2，即有f（x）=x2﹣2lnx，f′（1）=﹣1， 则在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣1）， 即为2x+2y﹣3=0； （Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=x﹣=， 当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递