天津路华中学2022年高一数学理期末试卷含解析

天津路华中学2022年高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p：关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1，+∞）上是增函数，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】4C：指数函数单调性的应用；2E：复合命题的真假；3F：函数单调性的性质． 【分析】由p且q为真命题，故p和q均为真命题，我们可根据函数的性质，分别计算出p为真命题时，参数a的取值范围及分别计算出q为真命题时，参数a的取值范围，求其交集即可． 【解答】解：命题p等价于，3a≤2，即． 由y=（2a﹣1）x为减函数得：0＜2a﹣1＜1即． 又因为p且q为真命题，所以，p和q均为真命题， 所以取交集得． 故选C． 2. 函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的反函数是                          （    ）                                       参考答案： C. 解析：由依次得  ，互易得 .3. 参考答案： D 略 4. 在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　） A．正三角形                 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： B 【考点】HX：解三角形． 【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形． 【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=， ∴=， ∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形． 故选B 【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用． 5. 已知函数的部分图像，则函数的解析式（   ） A                 B      C                 D  参考答案： B 6. 已知向量a=(cos，-2)，b=(sin，1)，且a∥b，则tan(-)等于 A．3     B．-3    C．    D． 参考答案： B 7. 已知f（x）=，若f（a）+f（1）=，则a=（　　） A. 1 B. －1 C. 或1 D. 或－1 参考答案： D 【分析】 直接利用分段函数以及函数值转化求解即可． 【详解】解： 可得：或，解得或，故选：D． 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力． 8. 已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是（    ） A.                 B.                C. 2               D. 3 参考答案： B 9. 若数列{an}满足，，，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法错误的是（    ） A. Tn无最大值 B. an有最大值 C. D. 参考答案： A 【分析】 先求数列周期，再根据周期确定选项. 【详解】因为， 所以 因此数列为周期数列，，有最大值2，， 因为, 所以为周期数列，，有最大值4，, 综上选A. 【点睛】本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题. 10. 已知a、b∈（0，1）且a≠b，下列各式中最大的是（　　　） Ａ．a2+b2　　　　Ｂ．２　　　　Ｃ．2b　　　Ｄ．+b[来 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式的解集为R,则实数的取值范围是        参考答案： 12. 若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为　　． 参考答案： 2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】利用幂函数的定义、单调性即可得出． 【解答】解：由幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm﹣1，可得m2﹣m﹣1=1，解得m=2或﹣1． 又幂函数y=xm﹣1在区间（0，+∞）上是增函数，∴m=2． 故答案为：2． 13. 设函数，若方程有三个不等实根，则的取值范围为_________________. 参考答案： 略 14. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（x﹣1）＞f（3﹣2x），求x的取值范围　  　． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用函数f（x）的奇偶性及在[0，+∞）上的单调性， 可把f（x﹣1）＞f（3﹣2x）转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式，从而可以求解． 【解答】解：因为偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数， 所以f（x﹣1）＞f（3﹣2x）?f（|x﹣1|）＞f（|3﹣2x|）?|x﹣1|＞|3﹣2x|， 两边平方并化简得3x2﹣10x+8＜0， 解得，所以x的取值范围为 （）． 故答案为：（）． 【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查．解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”，转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式求解． 15. 若与共线，则＝        . 参考答案： -6 16. 下列四个命题中 ①“”是“函数的最小正周期为”的充要条件； ②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件； ③ 函数的最小值为 其中假命题的为            （将你认为是假命题的序号都填上） 参考答案： ①，②，③   解析：①“”可以推出“函数的最小正周期为” 但是函数的最小正周期为，即 ② “”不能推出“直线与直线相互垂直” 反之垂直推出；③ 函数的最小值为 令 17. 已知函数f（x）＝ax﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为_____． 参考答案： (2,－3) 【分析】 根据指数函数的图像恒过点(0,1) ，令可得,可得,从而得恒过点的坐标. 【详解】∵函数，其中，  令可得, ∴, ∴点的坐标为，  故答案为: ． 【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质：图像恒过定点，运用整体代换值的方法是本题的关键，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆，直线。 （Ⅰ）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点； （Ⅱ）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程； （Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程。   参考答案： 解：（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。 ∴圆心C到直线的距离 ∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； 方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点； （Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则， ∴ 设，则， 化简得： 当M与P重合时，也满足上式。 故弦AB中点的轨迹方程是。 （Ⅲ）设，由得， ∴，化简的………………① 又由消去得……………（*） ∴   ………………………………② 由①②解得，带入（*）式解得， ∴直线的方程为或。 19. 设函数，其中为常数，（1）若，用定义法证明函数在上的单调性，并求在上的最大值；（2）若函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围。 参考答案： （1）增函数，证明略。最大值为 （2） 20. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求证：数列{an}是等差数列； （2）若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn； （3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定． 【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，化简整理，结合等差数列的定义即可得证； （2）求得an=2n﹣1，bn==．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和； （3）化简=﹣，结合数列{}为等比数列的充要条件是=A?qn（A、q为非零常数），即可求得λ的值． 【解答】解：（1）证明：由题知Sn=（an+1）2， 当n=1时，a1=S1=（a1+1）2，∴a1=1， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2． ∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0． ∵an＞0，∴an﹣an﹣1﹣2=0． 即当n≥2时，an﹣an﹣1=2． 则数列{an}是等差数列． （2）由（1）知数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴an=1+（n﹣1）?2=2n﹣1， ∵bn==． 则Tn=+++…++，① ∴Tn=+++…++，② 由①﹣②得 Tn=+2（++…+）﹣ =+2?﹣， ∴Tn=3﹣； （3）∵=（3﹣+λ）?=﹣， ∴数列{}为等比数列的充要条件是=A?qn（A、q为非零常数）， ∴当且仅当3+λ=0，即λ=﹣3时，得数列{}为等比数列． 21. 已知函数y= 4cos2x+4sinxcosx－2,（x∈R）。 （1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及其相对应的x值； （3）写出函数的单调增区间； 参考答案： 22. 定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”． （1）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（﹣x）=﹣f（x）的x的值；若不是，请说明理由； （2）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． （3）若f（x）=4x﹣m?2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）利用局部奇函数的定义，建立方程f（﹣x）=﹣f（x），然后判断方程是否有解即可； （2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案； （3）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（﹣x）=﹣f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案； 【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解． （1）当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），时， 方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2， 所以f（x）为“局部奇函数”．                                     … （2）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0， 因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．… 令t=2x∈[，2]，则﹣2m=t+． 设g（t）=t+，则g'（t）=， 当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数， 当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．       … 所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]． 所以﹣2m∈[2，]，即m∈[﹣，﹣1]．                          … （3）当f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0． t=2x+2﹣x≥2，则4x+4﹣x