云南省曲靖市沾益县沾益乡龙华中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

云南省曲靖市沾益县沾益乡龙华中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，那么的值是（     ） （A）       （B）      （C）        （D） 参考答案： A 略 2. 定义运算：，则的值是（     ） A.          B.        C.        D. 参考答案： D 3. （5分）复数等于（　　） 　 A．  B． ﹣ C． i D． ﹣i 参考答案： D 【考点】： 复数代数形式的混合运算． 【分析】： 直接化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数并化简． 解：=， 故选D 【点评】： 复数代数形式的运算，是基础题目． 4. 已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（　　） A．0 B． C．π D． 参考答案： D 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解． 【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0， 不妨设x＜0，则﹣x＞0． 则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α）， f（﹣x）=x2﹣sinx 那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0 解得：（k∈Z） ∵α∈[0，2π） ∴α= 故选：D． 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(   ) A. 12π+15  B. 13π+12   C. 18π+12   D. 21π+15 参考答案： C 6. 若= ，是第三象限的角，则=                   (     ) （A）-      （B）        （C）      （D） 参考答案： A 7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n=2017，则输出的S=（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 若，其前项和为.研究程序框图可知，当时，还要循环一次，，，判断是，退出程序，输出   8. 若函数的图象关于点对称，则函数的最大值等于（   ） A．1      B．     C．2       D． 参考答案： B 9. 若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=(       )   A．6    B．5      C．4       D．3 参考答案： C 略 10. 下列命题错误的是（     ）    A．命题若的逆否命题为“若，则”    B．若为假命题，则，均为假命题    C．对于命题存在,使得,则为:任意,均有    D．的充分不必要条件 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数为增函数的区间是________， 参考答案：    12. 已知，则=                 。 参考答案： 4 13. 连续掷两次骰子，以先后得到的点数m、n为点P（m，n）的坐标，那么点P在圆x2+y2＝17外部的概率应为__. 参考答案： 略 14. 已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为　  　． 参考答案： 2 【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算． 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值． 【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=， 设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大， 此时h==2， 故答案为：2． 15. 设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是        ． 参考答案： 略 16. 某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为________. 参考答案： 12 ∵高中部女教师与高中部男教师比例为2：3， 按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则男教师有9人， 工会代表中高中部教师共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3， 工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2：3， 工会代表中初中部教师总人数为10，又∵初中部女教师与高中部男教师比例为7：3， 工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3； ∴工会代表中男教师的总人数为9+3=12， 故答案为12．   17. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数l，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个边形数为，（k≥3）， 以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数  ， 正方形数  五边形数  六边形数  …… 可以推测的表达式，由此计算                      。 参考答案： 1000 将已知的列表式做如下转化，三角形数：；正方形数；五边形数：；六边形数：；可以推测：.所以 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.   参考答案： (I) 函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数(II) 解析：解：（Ⅰ）若k=﹣2，f（x）=﹣2ex﹣x2，则f'（x）=﹣2ex﹣2x， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）=﹣2ex﹣2x＜0， 故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数． （Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=kex﹣2x=0的两个根， 即方程有两个根，设，则， 当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0； 当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0； 当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0． 要使有两个根，只需， 故实数k的取值范围是． （Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2， 由，得， 所以， 由于x1∈（0，1），故， 所以0＜f（x1）＜1．   略 19. 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:   科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计 3 9 12 现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况. (1)求选出的4 人均选科目乙的概率; (2)设为选出的4个人中选科目甲的人数,求的分布列和数学期望. 参考答案： 解:(1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件, “从第二小组选出的2人选科目乙””为事件.由于事 件、相互独立, 且,                                  2分 所以选出的4人均选科目乙的概率为                                  5分 (2)设可能的取值为0,1,2,3.得 ,   ,,                       8分 的分布列为   ∴的数学期望                12分 略 20. 已知函数f（x）=|x﹣1|． （1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8； （2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）． 参考答案： 【考点】： 绝对值不等式的解法；不等式的证明． 【专题】： 不等式的解法及应用． 【分析】： （Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集． （Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立． 解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=， 当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5； 当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立； 当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3． 所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}． （Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|． 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立． 【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题． 21. 已知函数，. （Ⅰ）证明：，直线都不是曲线的切线； （Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）见解析; （Ⅱ）. 试题分析：（Ⅰ）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾； （Ⅱ）原问题转化为，令，, 则，使成立，讨论函数的最小值即可. （Ⅱ）即，令，， 则，使成立， ， （1）当时，，在上为减函数，于是 ， 由得，满足，所以符合题意； （2）当时，由及的单调性知 在上为增函数，所以，即， ①若，即，则，所以在上为增函数，于是 ，不合题意； ②若，即则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以 ，由得 ，这与矛盾，不合题意. 综上可知，的取值范围是. 【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 22. 已知F1，F2是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y﹣2=0对称． （l）求圆C的方程； （2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程；直线与圆的位置关系． 专题：直线与圆． 分析：（1）关键是求出以线段F1F2为直径的圆的圆心关于直线x+y﹣2=0对称的点即圆C的圆心，半径是=1； （2）切线、圆半径、点P与圆心的连线，他们构成的直角三角形，切线最小及点P到圆心的距离最小． 解答： 解：（1）由题意知，F1（﹣1，0），F2（1，0），线段F1F2的中点坐标为原点． 设点0关于直线x+y﹣2=0对称的点C坐标为（（x0，y0），则， ， 解得，即C（2，2）， 半径为=1， 所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1； （2）切线长：， 当|PC|最小时，切线长取得最小值， 当PC垂直于x轴，及点P位于（2，0）处时，|PC|min=2， 此时切线长取最小值． 点评：本题主要考查圆的对称问题，圆的切线问题．