江苏省南京市仙林中学高三数学文下学期期末试题含解析

江苏省南京市仙林中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为(    )   A．       B． C．     D． 参考答案： A 略 2. 下面几个命题中，假命题是(     ) A．“π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期” B．“x2+y2=0”是“xy=0”的必要不充分条件 C．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题 D．“?a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑． 【分析】由复合命题的真假判断说明A、D为真命题；利用充分必要条件的判断方法判断B；写出命题的否命题判断C． 【解答】解：对于A，“π是函数y=sinx的一个周期”是假命题，“2π是函数y=cosx的一个周期”是真命题， ∴π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”是真命题； 对于B，由x2+y2=0，得x=y=0，则xy=0，反之，若xy=0，得x=0或y=0，不一定有x2+y2=0， ∴x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件，故B是假命题； 对于C，“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题是：“若a＞b，则2a＞2b﹣1”是真命题； 对于D，“?a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内单调递增”为假命题（a=1时y=ax=1），∴其否定为真命题． 故选：B． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了命题的否定和否命题，是基础题． 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A、向左平移3个单位长度，再向上平移1个长度单位 B、向右平移3个单位长度，再向上平移1个长度单位 C、向左平移3个单位长度，再向下平移1个长度单位 D、向右平移3个单位长度，再向下平移1个长度单位 参考答案： C 略 4. 已知，若函数满足，则称为区间上的一组“等积分”函数，给出四组函数： ①；       ②；   ③；   ④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在． 其中为区间上的“等积分”函数的组数是 A．1     B．2     C．3     D．4 参考答案： 【知识点】微积分基本定理．B13 【答案解析】C  解析：对于①，，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得，而，所以①是一组“等积分”函数；对于②，，而，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故，而，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分，所以④是一组“等积分”函数，故选C 【思路点拨】利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间[﹣1，1]上的“等积分”函数的组数 5. 执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是  (A)   8             (B)   5       (C)   3         (D)   2 参考答案： .c 本题主要考查了程序框图，正确理解框图语言是解题关键，难度中等。因为，有、由判断框得，循环3次，第一次循环，，，第二次循环，，，第三次循环，，，则输出。 6. 已知，则是成立的 A 充要条件    B 充分不必要条件   C 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 7. 已知函数，对任意存在使，则的最小值为（    ） A.        B.     C.      D.  参考答案： D 8. 等差数列中，如果，，则数列前9项的和为(   ) (A)297              (B)144            (C)99            (D)66 参考答案： C 略 9. 已知是实数集，集合, 则                                                 (     )                     参考答案： D 10. 已知一个三棱锥的三视图如图，其中俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为，则该三棱锥的体积为 A. B. C. D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为    ． 参考答案： 略 12. 已知圆与圆交于两点，则所在直线的方程为              参考答案： 2x+y=0     13. 已知双曲线的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为 ． 参考答案： 14. 如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为　　千米． 参考答案： 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】解三角形． 【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可． 【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米． 甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟， 可得BC=千米，AC=10﹣=千米． ∠DAC=120°， CD==．（千米）． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力． 15. 已知函数，，则        。 参考答案： 略 16. 一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体棱长的最大值为       . 参考答案： 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）设，证明：． 参考答案： 解法一：（Ⅰ）（ⅰ） 当时，原不等式可化为，解得， 此时原不等式的解是；                                ………………2分 （ⅱ）当时，原不等式可化为，解得， 此时原不等式无解；                                        ………………3分 （ⅲ）当时，原不等式可化为，解得， 此时原不等式的解是；                                 ………………4分 综上，．                             ………………5分 （Ⅱ）因为               ………………6分                   ………………7分 ．               ………………8分 因为，所以，，                     ………………9分 所以，即．     ………………10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为， ……… 7分 所以，要证，只需证，　 即证，                                      ………………8分 即证， 即证，即证．          ………………9分 因为，所以，所以成立， 所以原不等式成立．                                        ………………10分 19. 某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为1000元．产品质量为一等品的概率为0.5，二等品的概率为0.4，每件一等品的出厂价为5000元，每件二等品的出厂价为4000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1件产品还会带来1000元的损失． （Ⅰ）求在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率； （Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，求另1件也为一等品的概率； （Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润ξ（元）的分布列和期望． 参考答案： 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）利用相互独立事件的概率公式计算； （II）使用条件概率公式计算； （III）列出ξ所有可能的取值及对应的概率，再计算数学期望． 【解答】解：（I）设一天生产的2件产品都为一等品为事件A，则P（A）=0.52=0.25， ∴在连续生产的3天中，恰有两天生产的2件产品都为一等品的概率P=0.25×0.25×0.75×=． （II）设一天中生产的2件产品中，有一件是一等品为事件B，另一件是一等品为事件C， 则P（BC）=P（A）=0.25，P（B）=0.5×0.5+0.5×0.4×2+0.5×0.1×2=0.75， ∴该厂某日生产的这种大型产品2件中有1件为一等品，另1件也为一等品的概率为P（C|B）== （III）ξ的可能取值为8000，7000，6000，2000，1000，﹣4000， ξ的分布列为： ξ 8000 7000 6000 2000 1000 ﹣4000 P E（ξ）=8000×+7000×+6000×+2000×+1000×+（﹣4000）×=6000． 20. 已知向量，，函数． (1)求函数的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)说明的图象可以由的图象经过怎样的变换而得到． 参考答案： 解：（1）∵m?n        ∴1m?n， ∴。 （2）由， 解得， ∴的单调递增区间为。 法一：   法二： 略 21. （本题满分14分） 已知数列中， （1）求证：数列是等比数列； （2）若是数列的前n项和，求满足的所有正整数n. 参考答案： （1）证明略；（2）1和2. 试题分析：（1）证明一个数列是否为等比数列的基本方法有两种：一是定义法：证明；二是等比中项法，证明，若证明一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程. 试题解析：（1）设， 因为==, 所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列.   ……… 5分 （2）由（Ⅰ）得，即， 由，得， 所以， …………………….11分 显然当时，单调递减， 又当时，＞0，当时，＜0，所以当时，＜0； ， 同理，当且仅当时，＞0， 综上，满足的所有正整数为1和2．…………………………………… 14分 考点：1、判断数列是否等比数列；2、等差数列、等比数列的前项和公式. 22. （本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，. （Ⅰ）求B和C； （Ⅱ）若，求△ABC的面积.   参考答案： 解：（Ⅰ）由用正弦定理得              ……………………（1分）            ∴