福建省福州市螺洲中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析

福建省福州市螺洲中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则(     ) A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）=f（x2） C．f（x1）＞f（x2） D．f（x1）与f（x2）的大小不能确定 参考答案： A 考点：函数单调性的性质． 专题：计算题． 分析：函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3）为二次函数，开口向上，对称轴为x=﹣1， 比较f（x1）与f（x2）的大小即看x1和x2谁到对称轴的距离大． 解答：解：已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0＜a＜3），二次函数的图象开口向上，对称轴为x=﹣1，0＜a＜3， ∴x1+x2=1﹣a∈（﹣2，1），x1与x2的中点在（﹣1，）之间，x1＜x2， ∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离， ∴f（x1）＜f（x2）， 故选A． 点评：本题考查函数单调性的应用，利用单调性比较大小，有较强的综合性．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键 2. 设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有意义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）=，取k=3，f（x）=（）|x|，则fk（x）=的零点有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定，随k的变化而变化 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】先根据题中所给函数定义，求出函数函数fK（x）的解析式，从而得到一个分段函数，然后再利用指数函数的性质求出所求即可． 【解答】解：函数fk（x）=的图象如图所示： 则fk（x）=的零点就是fk（x）与y=的交点，故交点有两个，即零点两个． 故选：C 3. 在△ABC中，若3cos A＋4cos B＝6，4sin B 3sin A＝1，则角C为(　　 ) A．30°     B． 60°或120° C．120° D． 60° 参考答案： C 4. “x+y=3”是“x=1且y=2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：当x=0，y=3时，满足x+y=3，但x=1且y=2不成立，即充分性不成立， 若x=1且y=2，则x+y=3成立，即必要性成立， 即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件， 故选：B 5. 在三棱锥S-ABC中，，二面角的大小为60°，则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（    ） A. B. 4π C. 12π D. 参考答案： D 【分析】 取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求 【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角，即 又 设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为 则面，由 在四边形中，设，外接球半径为，则 则三棱锥的外接球的表面积为 故选：D 【点睛】 本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题 6. 已知，，，则的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 7. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（   ） A.      B. C       D 参考答案： A 略 8. 设集合，，函数的定义域为，值域为，则函数的图像可以是（  ） A． B． C.   D． 参考答案： B 9. 一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 参考答案： C 【分析】 由题意可知：点在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：，利用直线与圆的相切的性质即可得出． 【详解】由题意可知：点在反射光线上． 设反射光线所在的直线方程为：，即． 由相切的性质可得：，化为：， 解得或． 故选：． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10. 已知幂函数过点，令，，记数列的前n项和为Sn，则时，n的值是（    ） A. 10 B. 120 C. 130 D. 140 参考答案： B 【分析】 根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值. 【详解】设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则__________. 参考答案： 【分析】 利用诱导公式结合可求值． 【详解】∵= 故答案为． 【点睛】本题主要考查了诱导公式在化简求值中的应用，考查配凑角的思想，属于基础题． 12. 已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是         ． 参考答案： 略 13. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=　  　． 参考答案： 3 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值 【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，）， 得 =2a，a= ∴y=f（x）= ∴f（9）=3． 故答案为：3． 14. 已知等比数列{ a n = a 1 q n – 1，q∈N，n∈N }中，对某个n > 6有a 1 + a n = 1094，a 2 a n – 1 =，则a 3 + a n – 2  =             。 参考答案： 126 15. （5分）用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是       ． 参考答案： 6 考点： 简单随机抽样． 专题： 计算题． 分析： 根据题意设出在第1组中随机抽到的号码，写出在第16组中应抽出的号码，根据第16组抽出的号码为126，使得126与用x表示的代数式相等，得到x的值． 解答： 不妨设在第1组中随机抽到的号码为x， 则在第16组中应抽出的号码为120+x． 设第1组抽出的号码为x， 则第16组应抽出的号码是8×15+x=126， ∴x=6． 故答案为：6． 点评： 抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样． 16. 若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线与圆相交的概率为                。 参考答案： 略 17. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为         . 参考答案： 试题分析：连接DE，设AD=2，易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角， 在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE="3" ，∴cos∠DAE==． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数  （1）当时，求函数的最大值与最小值； （2）求实数的取值范围，使得在区间上是单调函数. 参考答案： 解：依题意得 (1)当时,，  2分 若，由图象知 当时,函数取得最小值，最小值为1； 当时，函数取得最大值，最大值为. 5分 （2）由于 图象的对称轴为直线.                           6分 若函数在上为单调增函数，则需要满足即；8分 若函数在上为单调减函数，则需要满足即.  10分 综上，若函数在区间上为单调函数，则  12分 19. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱BB1的任一点． （1）求证：； （2）若正方体的棱长为a，求三校维的体积和表面积． 参考答案： （1）证明见解析；（2），. 【分析】 （1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）三棱维D1-ADC的体积，三棱维的表面积，由此能求出结果． 【详解】 （1）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为棱的任一点． ， ，平面， 平面，． （2）∵正方体的棱长为a， ∴三棱锥D1-ADC的体积： ． 三棱锥D1-ADC的表面积： ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积、表面积的求法，考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20. 已知. 参考答案： 解：， ， .……………………………………………………………………4分 又， 只可能为第二象限角或第四象限角.  ……………………………………6分 （1）当为第二象限角时，. （2）当为第四象限角时，. …………………12分   略 21. 已知Sn为数列{an}的前n项和且满足，在数列{bn}中满足， （1）求数列{an}的通项公式，并证明为等差数列； （2）设，令Tn为{Pn}的前n项的和，求Tn. 参考答案： 解: （1）当时， 当时，. 综上，是公比为2，首项为的2等比数列，. 因为，所以，由题，所以，所以是等差数列，. （2） 由错位相减法得 上述两式相减得 解得 22. (1) 已知求f(x)的解析式； (2) 当k为何值时，方程无解？有一解？有两解？ 参考答案： (1)令，得，所以.所以.………5分 (2)无解       或者时，有一解； ，有两解；                                …………12分