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福建省福州市螺洲中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1﹣a,则( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
参考答案:
A
考点:函数单调性的性质.
专题:计算题.
分析:函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3)为二次函数,开口向上,对称轴为x=﹣1,
比较f(x1)与f(x2)的大小即看x1和x2谁到对称轴的距离大.
解答:解:已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),二次函数的图象开口向上,对称轴为x=﹣1,0<a<3,
∴x1+x2=1﹣a∈(﹣2,1),x1与x2的中点在(﹣1,)之间,x1<x2,
∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离,
∴f(x1)<f(x2),
故选A.
点评:本题考查函数单调性的应用,利用单调性比较大小,有较强的综合性.熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键
2. 设函数f(x)在(﹣∞,+∞)上有意义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=,取k=3,f(x)=()|x|,则fk(x)=的零点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.不确定,随k的变化而变化
参考答案:
C
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】先根据题中所给函数定义,求出函数函数fK(x)的解析式,从而得到一个分段函数,然后再利用指数函数的性质求出所求即可.
【解答】解:函数fk(x)=的图象如图所示:
则fk(x)=的零点就是fk(x)与y=的交点,故交点有两个,即零点两个.
故选:C
3. 在△ABC中,若3cos A+4cos B=6,4sin B 3sin A=1,则角C为( )
A.30° B. 60°或120° C.120° D. 60°
参考答案:
C
4. “x+y=3”是“x=1且y=2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也必要条件
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答】解:当x=0,y=3时,满足x+y=3,但x=1且y=2不成立,即充分性不成立,
若x=1且y=2,则x+y=3成立,即必要性成立,
即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件,
故选:B
5. 在三棱锥S-ABC中,,二面角的大小为60°,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为( )
A. B. 4π C. 12π D.
参考答案:
D
【分析】
取AB中点F,SC中点E,设的外心为,外接圆半径为三棱锥的外接球球心为,由,在四边形中,设,外接球半径为,则则可求,表面积可求
【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角,即
又
设的外心为,外接圆半径为三棱锥的外接球球心为
则面,由
在四边形中,设,外接球半径为,则
则三棱锥的外接球的表面积为
故选:D
【点睛】
本题考查二面角,三棱锥的外接球,考查空间想象能力,考查正弦定理及运算求解能力,是中档题
6. 已知,,,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 函数的部分图象如图所示,则函数表达式为( )
A. B.
C D
参考答案:
A
略
8. 设集合,,函数的定义域为,值域为,则函数的图像可以是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 一条光线从点(-2,3)射出,经x轴反射后与圆相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
参考答案:
C
【分析】
由题意可知:点在反射光线上.设反射光线所在的直线方程为:,利用直线与圆的相切的性质即可得出.
【详解】由题意可知:点在反射光线上.
设反射光线所在的直线方程为:,即.
由相切的性质可得:,化为:,
解得或.
故选:.
【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10. 已知幂函数过点,令,,记数列的前n项和为Sn,则时,n的值是( )
A. 10 B. 120 C. 130 D. 140
参考答案:
B
【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式,由此求得的表达式,利用裂项求和法求得的表达式,解方程求得的值.
【详解】设幂函数为,将代入得,所以.所以,所以,故,由解得,故选B.
【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查裂项求和法,考查方程的思想,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,则__________.
参考答案:
【分析】
利用诱导公式结合可求值.
【详解】∵=
故答案为.
【点睛】本题主要考查了诱导公式在化简求值中的应用,考查配凑角的思想,属于基础题.
12. 已知直线l经过点P(2,1),且与直线2x+3y+1=0垂直,则l的方程是 .
参考答案:
略
13. 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)= .
参考答案:
3
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.
【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值
【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),
得 =2a,a=
∴y=f(x)=
∴f(9)=3.
故答案为:3.
14. 已知等比数列{ a n = a 1 q n – 1,q∈N,n∈N }中,对某个n > 6有a 1 + a n = 1094,a 2 a n – 1 =,则a 3 + a n – 2 = 。
参考答案:
126
15. (5分)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生随机地从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .
参考答案:
6
考点: 简单随机抽样.
专题: 计算题.
分析: 根据题意设出在第1组中随机抽到的号码,写出在第16组中应抽出的号码,根据第16组抽出的号码为126,使得126与用x表示的代数式相等,得到x的值.
解答: 不妨设在第1组中随机抽到的号码为x,
则在第16组中应抽出的号码为120+x.
设第1组抽出的号码为x,
则第16组应抽出的号码是8×15+x=126,
∴x=6.
故答案为:6.
点评: 抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少,可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异较大,可采用分层抽样.
16. 若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线与圆相交的概率为 。
参考答案:
略
17. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .
参考答案:
试题分析:连接DE,设AD=2,易知AD∥BC,∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角,
在△RtADE中,由于DE=,AD=2,可得AE="3" ,∴cos∠DAE==.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1)当时,求函数的最大值与最小值;
(2)求实数的取值范围,使得在区间上是单调函数.
参考答案:
解:依题意得
(1)当时,, 2分
若,由图象知 当时,函数取得最小值,最小值为1;
当时,函数取得最大值,最大值为. 5分
(2)由于 图象的对称轴为直线. 6分
若函数在上为单调增函数,则需要满足即;8分
若函数在上为单调减函数,则需要满足即. 10分
综上,若函数在区间上为单调函数,则 12分
19. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为棱BB1的任一点.
(1)求证:;
(2)若正方体的棱长为a,求三校维的体积和表面积.
参考答案:
(1)证明见解析;(2),.
【分析】
(1)推导出,从而平面,由此能证明.
(2)三棱维D1-ADC的体积,三棱维的表面积,由此能求出结果.
【详解】
(1)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为棱的任一点.
,
,平面,
平面,.
(2)∵正方体的棱长为a,
∴三棱锥D1-ADC的体积:
.
三棱锥D1-ADC的表面积:
.
【点睛】本题考查线线垂直的证明,考查三棱锥的体积、表面积的求法,考查正方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
20. 已知.
参考答案:
解:,
,
.……………………………………………………………………4分
又,
只可能为第二象限角或第四象限角. ……………………………………6分
(1)当为第二象限角时,.
(2)当为第四象限角时,. …………………12分
略
21. 已知Sn为数列{an}的前n项和且满足,在数列{bn}中满足,
(1)求数列{an}的通项公式,并证明为等差数列;
(2)设,令Tn为{Pn}的前n项的和,求Tn.
参考答案:
解:
(1)当时,
当时,.
综上,是公比为2,首项为的2等比数列,.
因为,所以,由题,所以,所以是等差数列,.
(2)
由错位相减法得
上述两式相减得
解得
22. (1) 已知求f(x)的解析式;
(2) 当k为何值时,方程无解?有一解?有两解?
参考答案:
(1)令,得,所以.所以.………5分
(2)无解
或者时,有一解;
,有两解; …………12分
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