广东省湛江市上皇中学高三数学理联考试题含解析

广东省湛江市上皇中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是(    )       (A) 1       (B) 2        (C) 3         (D) 4 参考答案： 解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？ 右图中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B． 2. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2. F2也是抛物线E：的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线的倾斜角为45°，则C的离心率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 分析：由题意可得：c==．直线AF1的方程为：y=x+c．联立，解得A（c，2c），代入椭圆方程可得：，即，化为：e2+   =1，解出即可得出． 详解：由题意可得：c== 直线AF1的方程为y=x+c． 联立，解得x=c，y=2c． ∴A（c，2c）， 代入椭圆方程可得：， ∴，化为：e2+=1， 化为：e4﹣6e2+1=0，解得e2=3，解得e=﹣1． 故答案为：B 点睛：(1)本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了学生的推理能力与计算能力.(2)求离心率常用的方法是找关于离心率的方程再解方程,本题就是利用点A(c,2c)在椭圆上找到关于离心率的方程的. 3. 设复数满足，则（  ） A．     B．     C．       D． 参考答案： A 略 4. 已知双曲线：，当双曲线C1的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线C2：的焦点、若A、B是抛物线C2上两点，，则AB中点的横坐标为（    ） A. B. 2 C. D. 3 参考答案： B 【分析】 根据二次函数取得最小值的条件，求得，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案. 【详解】由题意可得，即有， 由，可得当时，焦距取得最小值， 所以双曲线的方程为， 于是右焦点为，即抛物线的焦点为， 所以，，则抛物线：， 准线方程，设，， ∴，解得， ∴线段的中点横坐标为2. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质，考查了二次函数求最值，考查了抛物线的定义，属于基础题. 5. 若实数x，y满足条件，则目标函数的最大值为(  )． A.6                 B.5             C.4            D.3 参考答案： B 6. 若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是            （  ）     A．          B．            C．     D． 参考答案： B 7. 已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是 A．m∥α，n∥α          B．m⊥α，n⊥α C．m∥α，n?α         D．m、n与α所成的角相等 参考答案： D 略 8. 已知函数，给出下列四个说法：[来源:学§科§网Z§X§X§K] ①若，则；  ②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 其中正确说法的个数为 A.1个     B.2个     C.3个      D. 4个 参考答案： B ，若，则，所以，故①错；的最小正周期是，故②错；令，所以，故③对；令，所以，所以④对. 9. 如图，函数的图象为折线，设， 则函数的图象为（     ） 参考答案： A 10. 从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A课程，则不同的选择方案共有（   ） A．300种   B．240种   C．144种       D．96种 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出 下列函数①;②;③;④. 以上函数是“函数”的所有序号为           . 参考答案： ②;③ 12. 已知等比数列的前项和为，若，则=   参考答案： 3　 13. 函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如：函数是单函数，下列命题： ①函数是单函数； ②指数函数是单函数； ③若为单函数，且，则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。其中真命题是               （写出所有真命题的编号） 参考答案： ②③④ 14. 已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+2)×f(x)=k(k为常数)，且当x∈[0,2]时，f(x)=x2+1， 则f(5)=   ▲     ． 参考答案： 2  略 15. （几何证明选讲选做题）如图,△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC=10，BC=15，那么AE=___________. 参考答案： 略 16. 已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为　 ． 参考答案： 0 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】求导g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，从而可得g（x）在其定义域上单调递增；再由g（0）=0+1=1，从而判断． 【解答】解：∵g（x）=xf（x）+1， ∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0， 故g（x）在其定义域上单调递增； ∵y=f（x）为R上的连续可导函数， ∴函数g（x）=xf（x）+1在R上连续； 又∵g（0）=0+1=1， ∴函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0； 故答案为：0． 【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用． 　 17. 如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为    ▲    ． 参考答案： 3   考点：三棱锥体积 【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人． （Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数； （Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？   选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 　60　 　45　 　105　 女生 　30　 　45　 　75　 合计 　90　 　90　 　180　 附：，其中n=a+b+c+d． P（K2≥k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考答案： 【考点】独立性检验． 【分析】（Ⅰ）计算抽取的男生与女生人数，根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数； （Ⅱ）根据统计数据，填写列联表，计算观测值，比较临界值得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由条件知，抽取的男生为105人，女生为180﹣105=75人； 男生选择社会科学类的频率为，女生选择社会科学类的频率为； 由题意，男生总数为人， 女生总数为人， 所以，估计选择社会科学的人数为人； （Ⅱ）根据统计数据，可得列联表如下：   选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 计算观测值， 所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关． 　 19．如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上． （Ⅰ）求证：BP⊥CE； （Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值． 【答案】 【解析】 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）点P在平面BCDE的射影O落在BE上，证明CE⊥平面PBE，推出PB⊥CE． （Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角B﹣PC﹣D的余弦值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由条件，点P在平面BCDE的射影O落在BE上， ∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE， ∴CE⊥平面PBE，而BP?平面PBE， ∴PB⊥CE． （Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系． 则，，， 设平面PCD的法向量为 则，即，令，可得 设平面PBC的法向量为 则，即，令，可得∴ 考虑到二面角B﹣PC﹣D为钝二面角，则二面角B﹣PC﹣D的余弦值为． 19. 一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）． （I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率； （Ⅱ）记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（I）从7个球中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，然后求出取出的3个球中，含有编号为2的球的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解 （II）先判断随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值． 【解答】解：（Ⅰ） 设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则 从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C73=35， 其中含有2号球的基本事件个数m=C21C52+C22C51=25， ∴取出的3个球中，含有编号为2的球的概率=．… （Ⅱ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．… P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，… 所以随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 随机变量ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．… 20. （本小题满分13分）某普通高中共有个班，每班名学生，每名学生都有且只有一部手机，为了解 该校学生对两种品牌手机的持有率及满意度情况，校学生