广东省清远市职业中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省清远市职业中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 从[-4,4]上任取一个数x，从[-4,4]上任取一个数y,则使得的概率是（  ） A． B． C． D．   参考答案： C ：因为点(x，y)在边长为8的正方形区域内，其面积为64，满足不等式的点对应的区域为前面正方形内的一个边长为的正方形区域，其面积为32，所以所求的概率为，则选C. 2. 如果位于第三象限,那么角所在的象限是(   ) A.第一象限     B.第二象限     C.第一或三象限     D.第二或四象限 参考答案： C 3. 已知等差数列{an}的公差为2，若成等比数列，Sn是{an}的前n项和，则等于(    ) A. -8 B. -6 C. 0 D. 10 参考答案： C 分析：由成等比数列，可得 再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出． 详解：∵4成等比数列，∴， 化为 解得 则 故选D． 点睛：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： C 5. 直线L1:ax+3y+1=0,  L2:2x+(a+1)y+1=0,  若L1∥L2,则a=(    ) A．-3          B．2            C．-3或2           D．3或-2 参考答案： A 略 6. 过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是（　　） A． y=﹣1 B． y=﹣2 C． y=x﹣1 D． y=﹣x﹣1   参考答案： A 考点:轨迹方程． 专题:导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析:由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1，从而得到两切线焦点的轨迹方程． 解：由抛物线x2=4y得其焦点坐标为F（0，1）． 设A（），B（）， 直线l：y=kx+1， 联立，得：x2﹣4kx﹣4=0． ∴x1x2=﹣4…①． 又抛物线方程为：， 求导得， ∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为…② 抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为…③ 由①②③得：y=﹣1． ∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y=﹣1． 故选：A． 点评:本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．   7. 复数（   ） A.    B.      C.     D. 参考答案： D 略 8. 函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)． A．(－2，－1)     B．(－1,0)     C．(0,1)     D．(1,2) 参考答案： B 9. 执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为（　　） A． B．0 C．﹣ D．﹣1 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是求S=的值，根据条件确定跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出S的值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=的值， ∵跳出循环的n值为2014， ∴= 故选C． 10. 已知i为虚数单位，为复数z的共轭复数，若z+2=9－i，则=（   ） A． B． C． D．  参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在复平面上，若复数（）对应的点恰好在实轴上，则=_______. 参考答案： 0 略 12. 已知向量,满足，，则在方向上的投影为       ． 参考答案： 向量在方向上的投影为． 13. 已知定义域为的偶函数，对于任意，满足。且当时。令，，其中，函数。则方程的解的个数为______________（结果用表示）． 参考答案： 14. 已知M、m分别是函数f（x）=的最大值、最小值，则M+m=           ． 参考答案： 2 【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用分式函数的性质进行分解，结合奇函数的对称性，即可得到结论． 【解答】解：函数f（x）===1+， 令g（x）=，则g（x）为奇函数，故g（x）的最大值和最小值的和为0． 即gmax（x）+gmin（x）=0，∴M=gmax（x）+1，N=gmin（x）+1， ∴M+N=gmax（x）+gmin（x）+2=2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查函数最值的判断，利用分式函数进行分解，利用奇函数的最值互为相反数，即可得到结论，体现了转化的数学思想，属于基础题． 15. 如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是____________。 参考答案： 略 16. 在中，边上的高为，则      参考答案： 略 17. 向量，，，若平面区域由所有满足（，）的点组成，则的面积为           。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#] （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~] 参考答案： （1）由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得             的分布为   X 1 1.5 2 2.5 3 P X的数学期望为      . （Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则   . 由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以           . 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为. 19. 已知直三棱柱的底面中,,,, 是的中点，D是AC的中点 ，是的中点 , (1)证明：平面；  （2）试证： 参考答案： 证明：(1)连,为中点，为中点，, 又平面,平面,平面 (2) 直三棱柱 平面  平面, 又,平面 平面 , 平面    在与中， ∽ 平面 平面 ， 平面 略 20. （本题满分14分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数上是减函数，求实数a的最小值； （3）若，使成立，求实数a的取值范围. 参考答案： 由已知函数的定义域均为,且. ……1分 （1）函数, 当且时,;当时,. 所以函数的单调减区间是,增区间是.  ………………4分 （2）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立． 所以当时，． 又， 故当，即时，． 所以于是，故a的最小值为．       ………………………………7分 （3）命题“若使成立”等价于 “当时，有”．         由（Ⅱ），当时，，．  问题等价于：“当时，有”．       ………………………………9分 当时，由（Ⅱ），在上为减函数， 则=，故．       当时，由于在上为增函数， 故的值域为，即． (i)若，即，在恒成立，故在上为增函数， 于是，=，不合题意．              ……………………11分 (ii)若，即，由的单调性和值域知， 唯一，使，且满足： 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以，=，． 所以，，与矛盾，不合题意． 综上，得．                         …………………………………14分 21. (本小题满分14分)已知函数，若曲线在点处的切线平行于轴． (Ⅰ) 求实数的值； （Ⅱ）函数恰有两个零点．   （i）求函数的单调区间及实数的取值范围；   （ii）求证：． 参考答案： 解法一：（Ⅰ）由，且，………………………………2分      解得．…………………………………………3分 （Ⅱ）（i），.      令 ,…………………………………………4分 当即时，， 所以在上单调递减， 此时只存在一个零点，不合题意；………………………………………5分 当时，令，解得. 当变化时，和变化情况如下表： 极小值 …………………………………………6分 由题意可知，. 设， 当时，即，此时恰有一个零点，不合题意；…………… 7分 当且时，，………………………………8分 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时恰有两个零点． 综上，的取值范围是.…………………………………………9分 （ii）证明：函数有两个零点， ， 两式相减得， ．…………………………………………10分 要证， 只要证，只要证， 只要证，……………………………11分 只要证．…………………………………………12分ks5u 设，则， 在（1，+∞）上单调递增，………………………………13分 ， ．…………………………………………14分 解法二：（I），（II）（i）同解法一． （ii）显然，故是函数的一个零点，不妨设．…………………10分 由是函数的另一个零点， 所以，即.……………………………11分 又，…………………12分 设，且， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，…………………………………………13分 所以的单调递增区间为和． 又， 当时，，当时，, 所以，即.…………………14分 22. 已知数列的前项和为，且（） （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为。   参考答案： 解：（1）  从而 数列为等比数列 又 因此 （2）   （2），