河南省信阳市斛山中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析

河南省信阳市斛山中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是（    ） A．     B．     C．        D． 参考答案： A 2. 下列各组函数是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 参考答案： D 考点：函数及其表示 试题解析：因为的定义域为的定义域为R，故A错； 的定义域为R，的定义域为故B错； 与不同，故C错。 故答案为：D 3. 已知，那么函数的最小值是    A．           B．              C．               D． 参考答案： D 略 4. 已知函数是R上的增函数，A（0，），B（3，1）是其图像上的两点，那么的解集的补集为（    ）  A．      B．   C．      D． 参考答案： D 略 5. 集合M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的概念及其构成要素． 【专题】数形结合． 【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象． 【解答】解：由题意可知：M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}， 对在集合M中（0，2]内的元素没有像，所以不对； 对不符合一对一或多对一的原则，故不对； 对在值域当中有的元素没有原像，所以不对； 而符合函数的定义． 故选：B． 【点评】本题考查的是函数的概念和函数图象的综合类问题．在解答时充分体现了函数概念的知识、函数图象的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思． 6. 如左图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何 体中的（   ）     参考答案： D 7. 定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间[﹣1，5]内函数F（x）=f（x）﹣logax有三个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．（，2） B．（1，5） C．（2，3） D．（3，5） 参考答案： D 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用． 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和周期性，求出函数在一个周期内的解析式和图象，利用函数与方程之间的关系，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：由f（﹣x）=f（x）得函数f（x）是偶函数， 由f（x+2）=f（x），得函数的周期为2， 若当x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]， 即此时，f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，x∈[0，1]， 由F（x）=f（x）﹣logax=0，则f（x）=logax， 作出函数f（x）和y=logax在区间[﹣1，5]上的图象如图： 若0＜a＜1，此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件． 若a＞1，若两个函数图象只有3个交点， 则满足，即，解得3＜a＜5， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键． 8. 已知函数有反函数，则方程 （    ） A．有且仅有一个根      B．至多有一个根 C．至少有一个根        D．以上结论都不对 参考答案：  B  解析：可以有一个实数根，例如，也可以没有实数根， 例如 9. 已知数列满足：，，用表示不超过的最大整数，则的值等于（    ） A．0    B．1    C．2    D．3 参考答案： B 略 10. 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（   ） A. 2π B. C. D. 3π 参考答案： C 【分析】 首先根据侧面展开图弧长等于底面周长，求得底面积.再利用勾股定理算得圆锥高，求得体积. 【详解】底面周长 ，底面半径 圆锥高为 ， 即 答案为C 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，抓住展开图和圆锥的线段长度关系是解题的关键. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知映射f：A→B的对应法则f：x→x+1（x∈A，则A中的元素3在B中与之对应的元素是　　． 参考答案： 4 考点： 映射． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据映射的定义，像x+1=3+1的值是4，即为所求． 解答： 解：由题意知，3+1=4， ∴像是4， 故答案为4． 点评： 本题考查映射的概念、像与原像的定义．按对应法则f：x→x+1，3是原像，x+1是像，本题属于已知原像，求像． 12. 已知， =，·，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设（m，n∈Ｒ），则=________． 参考答案： 略 13. 已知幂函数f(x)=xa的图象过点（27，3），则这个函数解析式为          .. 参考答案： 由题意可得：，解得： ∴这个函数解析式为   14. 已知点A(－1,5)和向量,则点B的坐标为                    . 参考答案： （5,14）  略 15. 设向量，若与向量共线，则    ▲     ． 参考答案： -5 略 16. 的值为          参考答案： 17. 设函数f(x)的定义域为R，且，当时，， 则           ． 参考答案： －2 因为，则， 所以，则。   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （满分12分）已知函数，集合，，空集。 （1）若函数为偶函数，且,求实数的取值范围； （2）若，求函数的解析式。 参考答案： （1）为偶函数 ……………………………………………………………………1分 即 ………………………………………………………………………………3分 依题意有实数根 ………………………………………………………………………………6分 （2） 将化为 则方程有两个相等实根………………………………………………8分 得 ………………………………………………………………12分 19. 盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少p%，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的，已知到今天为止，剩余的总量是原来的． （1）求p%的值； （2）到今天为止，工厂已经开采了几天？ （3）今后最多还能再开采多少天？ 参考答案： 解：设总量为a，由题意得： （1），解得． （2）设到今天为止，工厂已经开采了天，则， 即，解得． （3）设今后最多还能再开采n天，则， 即，即，即，故今后最多还能再开采25天．   20. 已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜． （Ⅰ）若，求θ； （Ⅱ）求|的最大值． 参考答案： 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【分析】（I）根据两个向量垂直的性质可得 sinθ+cosθ=0，由此解得tanθ的值，从而得出θ． （II）利用向量的模的定义化简|，再根据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求出|的最大值． 【解答】解：（I）.，??=0?sinθ+cosθ=0， = = 当=1时有最大值，此时，最大值为． 21. (本小题满分10分)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的的最大值和最小值； (3)若，求的值. 参考答案： ∵= ∴ (1) 的最小正周期 (2) (3)∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 22. 已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围． （3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值． 参考答案： 【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质． 【专题】综合题． 【分析】（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）﹣f（x）=2x，化简后根据多项式相等的条件求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式； （2）不等式恒成立即为把不等式变为x2﹣3x+1＞m，令g（x）等于x2﹣3x+1，求出g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值，即可得到m的取值范围，求最大值的方法是：把g（x）配方成二次函数的顶点形式，找出对称轴，经过判断发现对称轴在区间内，又二次函数的开口向上，所以得到g（x）的最小值为g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，让m小于等于g（1）即可求出m的范围； （3）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出g（t）的对称轴，根据对称轴大于等于0和小于0，分两种情况考虑，分别画出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到g（t）的最大值，并求出相应t的范围，联立即可得到g（t）最大值与t的分段函数解析式． 【解答】解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x， 得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0， ∴， ∴f（x）=x2﹣x+1； （2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立； 令， x∈[﹣1，1]， 则对称轴：， 则g（x）min=g（1）=﹣1， ∴m＜﹣1； （3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1] 对称轴为：， ①当时，即：；如图1： g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7 ②当时，即：；如图2： g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3， 综上所述：． 【点评】此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质及不等式恒成立时所满足的条件，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．