天津大钟庄镇中学高二数学理下学期期末试题含解析

天津大钟庄镇中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 是                                          (     ) A.最小正周期为的偶函数                B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数                 D.最小正周期为的奇函数 参考答案： D 2. 若关于x的不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（  ） A．(－∞,－6)∪(4,+∞)    B． (－∞,－4)∪(6,+∞) C. (－6,4)                 D．[－4,6] 参考答案： A 因为 ,所以 ,选A. 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.   3. 观察下列各式： …，根据以上规律，则（  ） A. 123 B. 76 C. 47 D. 40 参考答案： C 【分析】 由数字构成数列，可得数列满足，即可求解，得到答案． 【详解】根据题设条件，由数字构成一个数列， 可得数列满足， 则，故选C． 【点睛】本题主要考查了归纳推理，以及数列的应用，其中解答中根据题设条件，得出构成数列的递推关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是  （  ） A.平面六边形      B.菱形         C.梯形         D.直角三角形 参考答案： D 5. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可． 【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， 且PA=AB=1， ∴几何体的最长棱为PC==． 故选：D 【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 6. 抛物线的准线方程是（   ） A.         B.          C.        D. 参考答案： A 略 7. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（   ） A．（）   B．（）  C．（）  D．（） 参考答案： D 8. 设点分别在直线和上运动，线段的中点恒在直线上或者其右上方区域．则直线斜率的取值范围是（    ） A．   B．     C．      D． 参考答案： B 9. 下列各组不等式中，同解的一组是（    ） A．与               B．与 C．与    D．与 参考答案： B 10. 设直线是两直线,是两平面,A为一点,有下列四个命题: ①,则必为异面直线 ②若,,则 ③若,,,则 ④若,则 其中正确的命题个数是                  (    ) A.0      B.1       C.2       D.3 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，则=               ． 参考答案： 略 12. 的二项展开式中的常数项的值为______． 参考答案： 13. 如图，正方体的棱长为1，点在侧面及其边界上运动，并且总保持平面，则动点P的轨迹的长度是 _________．         参考答案： 14. 复数（其中为虚数单位）的虚部为__________. 参考答案： 略 15. 设函数在上的导函数为，在上的导函数为若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知 ，当实数m满足时，函数在上总为“凸函数”，则的最大值为______. 参考答案： 2 略 16. 设，（为虚数单位），则的值为    ． 参考答案： 2 略 17. 已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为         .    参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 点P在椭圆+=1上，求点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离． 参考答案： 【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系． 【分析】可设P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式，运用两角和的余弦公式，化简结合余弦函数的值域即可得到最值． 【解答】解：由于点P在椭圆上，可设P（4cosθ，3sinθ）， 则，即， 所以当时，； 当时，． 19. 已知函数． （Ⅰ）若函数在处取得极值，且曲线在点，处的切线与直线平行，求的值； （Ⅱ）若，试讨论函数的单调性．                            （Ⅲ）若对定义域内的任意，都有成立，求的取值范围 参考答案： 解：（Ⅰ）函数的定义域为. 由题意 ，解得∴.---------2分 （Ⅱ）若， 则..      （1）当时，由函数定义域可知，， ∴在内，函数单调递增；        （2）当时， 令， ∴函数单调递增； 令，∴函数单调递减 综上：当时，函数在区间为增函数； 当时，函数在区间为增函数；                        在区间为减函数.-------------7分 （Ⅲ）由      令，则=（时）      ∴与（时）具有相同的单调性，   由（Ⅱ）知，当时，函数在区间为增函数；其值域为R，不符合题意 当时，函数=，∵，∴>0恒成立，符合题意 当时，函数在区间为减函数；在区间为增函数 ∴的最小值为=+()+= ∴≥0 综上可知：                            .-------------12分 略 20. 设为数列{}的前项和,已知,2,N (Ⅰ)求,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和. 参考答案： 解: (Ⅰ) …………………2分 ………………………………5分 (Ⅱ) …………………7分 上式左右错位相减: . …………………10分   略 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2 （1）求证：BE∥平面PAD； （2）求证：平面PBC⊥平面PBD； （3）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为45°． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）设PD的中点为F，连接EF，证明四边形FABE是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明BE∥平面PAD． （2）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD，（文科）求解；（理科）利用直线与平面垂直的性质定理证明平面PBC平面PBD． （3）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 求出相关点的坐标，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通过二面角结合数量积求解λ即可． 【解答】解：（1）证明：设PD的中点为F，连接EF，∵点E，F分别是△PCD的中点， ∴EF∥CD，且， ∴EF∥AB，且EF=AB， ∴四边形FABE是平行四边形． ∴BE∥AF，又AF?平面PAD，EF?平面PAD， ∴BE∥平面PAD． （2）在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H， 在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°． 又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°． ∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD． ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD?平面PCD， ∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC， 又∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD， ∴BC⊥平面PBD， 又BC?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PBD． （3）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）． 令Q（x0，y0，z0），∵，Q（0，2λ，1﹣λ）， ∵BC⊥平面PBD， ∴即为平面PBD的法向量． 设平面QBD的法向量为， 则即．令y=1，得． 若二面角Q﹣BD﹣P为45°， 则， 解得， ∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴． 　 22. 已知椭圆的离心率为，直线与圆相切. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C的交点为A，B，求弦长. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 (1)利用直线与圆相切，先求出的值，再结合椭圆的离心率求出的值，最终确定椭圆的方程；（2）先设点，联立直线与椭圆的方程，消去可得，然后根据二次方程根与系数的关系得到，最后利用弦长计算公式求解即可. 【详解】（1）由直线与圆相切得, 由得, ∴椭圆方程为; （2）, ， 设交点坐标分别为, 则, 从而 所以弦长. 考点：1.直线与圆的位置关系；2.椭圆的标准方程及其几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.