广东省汕尾市职业技术学院附属中学高二数学理测试题含解析

广东省汕尾市职业技术学院附属中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中的常数项为，则a=（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： C 【分析】 二项展开式二项式系数和为，可得，使其通项公式为常数项时，求得，从而得到关于的方程. 【详解】展开式中各项的二项式系数和为，，得， ， 当时，，解得：. 【点睛】求二项式定理展开式中各项系数和是用赋值法，令字母都为1；而展开式各项的二项式系数和固定为. 2. 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（  ） A. -55 B. -61 C. -63 D. -73 参考答案： D 【分析】 令得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案. 【详解】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项各项系数和为，故选D. 【点睛】本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型. 3. 在下列命题中，不是公理的是（　　） A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 参考答案： A 略 4. 设是等差数列的前项和，若，则（   ） A．91 B．126 C．234 D．117 参考答案： D 是等差数列的前项和，,选D.   5. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称 ∴y=f（x）的图象关于x=2对称 ∴f（4）=f（0） 又∵f（4）=1，∴f（0）=1 设g（x）=（x∈R），则g′（x）== 又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0 ∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减 ∵f（x）＜ex ∴g（x）＜1 又∵g（0）==1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故选B． 6. 已知回归方程为： =3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（　　） A．增加2个单位 B．减少2个单位 C．增加3个单位 D．减少3个单位 参考答案： B 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】根据回归方程=3﹣2x的斜率为﹣2，得出解释变量与预报变量之间的关系． 【解答】解：回归方程为=3﹣2x时， 解释变量增加1个单位，则预报变量平均减少2个单位． 故选：B． 7. 已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 参考答案： C 【考点】基本不等式． 【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值． 【解答】解：∵a+b=2， ∴=1 ∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立） 故选C 8. 经过点(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移为参数的参数方程是 A．   B．     C．    D． 参考答案： D 略 9. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是 A．     B．     C．      D． 参考答案： B 略 10. 函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ）      A.          B.         C.          D.   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆第一象限的点．若∠F1PF2=60°，则P的坐标为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆的方程，设P点坐标，利用余弦定理求得|F1P|?|PF2|，根据三角形的面积公式求得面积S，利用三角形面积相等，即=丨F1F2|?y0，即可求得y0，代入椭圆方程，即可求得P点坐标． 【解答】解：由椭圆=1， a=4，b=3，c=， 又∵P是椭圆第一象限的点（x0，y0），y0＞0，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点， ∴|F1P|+|PF2|=2a=8，|F1F2|=2c=2， ∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|F1P|?|PF2|cos60°， =（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|?|PF2|cos60°， =64﹣3|F1P|?|PF2|， ∴64﹣3|F1P|?|PF2|=28， ∴|F1P|?|PF2|=12． ∴=|F1P|?|PF2|sin60°=3， 由=丨F1F2|?y0=3， 解得：y0=， 将y0=，代入椭圆方程，解得：x0=， ∴P点坐标为：， 故答案为：． 12. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为       参考答案： 16  略 13. 抛物线的准线方程是　 ▲　　． 参考答案： y=-1 14. 已知，则       ． 参考答案： 略 15. 随机变量服从正态分，若P(>11)=a，则P(9<≤ll) =______ ； 参考答案： 1-2a 16. 给出下列命题： ①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 无实根”的否命题； ②命题在“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a>b>0，则”的逆否命题； ④若“m>1，则mx2－2（m＋1）x＋（m－3）>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 参考答案： 略 17.  如图，已知平面，，则图中直角三角形的个数为________． 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4． （1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD； （2）求四棱锥P﹣ABCD的体积． 参考答案： 【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根据面面垂直的性质得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD； （2）过P作PO⊥AD，则PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式计算即可． 【解答】（1）证明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4，BD=8， ∴AD2+BD2=AB2， ∴AD⊥BD． 又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥面PAD， 又BD?面BDM， ∴面MBD⊥面PAD． （2）解：过P作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?平面PAD， ∴PO⊥面ABCD， 即PO为四棱锥P﹣ABCD的高． 又△PAD是边长为4的等边三角形， ∴PO=2． 过D作DN⊥AB，则DN==． ∴S梯形ABCD=×（2+4）×=24， ∴VP﹣ABCD==16． 19. （本题满分8分）由3位男生2位女生排成一排， 　　（1）所有不同排列的个数； （2）恰有两个男生相邻的排列个数； （3）男生不等高且从左到右的排列的顺序为由高到矮的排列的个数？ 【结果全部用数字作答】 参考答案： 解（1）120  【2分】（2）72  【式子正确给2分满分3分】 （3）20   【同（2）】 略 20. 已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为． ⑴求的值； ⑵求展开式中含项的系数． 参考答案： 解：⑴由题意，， 则；         由通项，则，所以，所以； ⑵即求展开式中含项的系数， ，      所以展开式中含项的系数为． 略 21. 已知一个袋子里装有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球. （1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； （2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到5次就终止游戏，记游戏结束时 一共取球次，求随机变量的分布列与期望. 参考答案： (1)；(2)分布列见解析，. 试题分析：(1)借助题设条件运用独立充分试验的概率公式求解；(2)借助题设条件随机变量的数学期望公式求解. 试题解析： （1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则： .    2分 ………………………………………………………4分 ………………………………………………………5分 另解：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知………2分 则…………5分 ∴随机变量X的分布列为： X 2 3 4 5 P ∴随机变量X的期望为：…………………13分 考点：独立充分试验的概率计算公式和随机变量的数学期望计算公式等有关知识的综合运用． 22. 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。 参考答案： 解：          而，即。   略