云南省大理市宾川县第四中学高三数学理月考试题含解析

云南省大理市宾川县第四中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为，则tanθ的值为（　　） A． B．±1 C． D． 参考答案： C 【考点】任意角的三角函数的定义． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值． 【解答】解：角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为x=，则它的纵坐标为y=±， 故tanθ==±， 故选：C． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2. 函数的定义域为(      )． ．(0,1)      ．[0,1)        ．(0,1]           ．[0,1] 参考答案： B 略 3. 函数（为自然对数的底数）的图像可能是（      ） 参考答案： A 【知识点】函数的奇偶性 【试题解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B、D。 又故选A。 故答案为：A 4. 设满足约束条件，则的取值范围是（ ） A．        B．       C．       D． 参考答案： D 5. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【分析】运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出S△BCD． 【解答】解：在△ABC中，设∠ACB=α，∠ACB=β，由余弦定理得： AC2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα， ∵△ACD为正三角形， ∴CD2=5﹣4cosα， 由正弦定理得： =， ∴AC?sinβ=sinα， ∴CD?sinβ=sinα， ∵（CD?cosβ）2=CD2（1﹣sin2β）=CD2﹣sin2α=5﹣4cosα﹣sin2α=（2﹣cosα）2， ∵β＜∠BAC， ∴β为锐角，CD?cosβ=2﹣cosα， ∴S△BCD=?2?CD?sin（+β） =CD?sin（+β） =CD?cosβ+CD?sinβ =?（2﹣cosα）+sinα =+sin（α﹣）， 当α=时，（S△BCD）max=+1． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用余弦定理和面积公式，同时考查基本不等式的运用，属于中档题． 6. 若函数的大致图像如右图，其中为常数，则函数的大致图像是（   ）   参考答案： B. 试题分析：由函数的图像为减函数可知，，再由图像的平移知，的图像由向左平移可知，，故函数的大致图像为B选项. 考点：对数函数的图像与性质. 7. 已知函数y＝f（x），满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f（1）＝，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝ A．          B．            C．π              D． 参考答案： B 由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知： f（﹣x）=f（x）， f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2）， 故f（x）=f（x+4）， 则F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=， 故选：B．   8. 如图所示的程序框图，它的输出结果是 A．     B．    C． D． 参考答案： C 9. 给出下列各函数值：①；②；③；④  其中符号为负的有（    ） A．  ①          B．  ②           C．  ③           D．  ④ 参考答案： C 10. 等比数列｛an｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15，则S3＝ A．7　　　B．－9　　　C．7或－9　　　D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，则=       。 参考答案： 12. 设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，P 是△ABC所在平面内的一点，且满足（P与A不重合）.Q   为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC.有下列命题： ①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；   ②若QA=QP，则；   ③若QA>QP，；   ④若QA>QP,则P在△ABC内部的概率为   的面积）．     其中不正确的命题有＿＿＿＿＿（写出所有不正确命题的序号）． 参考答案： 略 13. 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如下图（图左）所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是        元。 参考答案： 2900 14. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，则它的解析式为_     _。 参考答案： 略 15. 设，则展开式的常数项为        . 参考答案： 160 略 16. 某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600 人、1400 人，若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是_________. 参考答案： 80 略 17. 抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为          ▲   ． 参考答案： 由椭圆方程可知，所以，即，所以椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以，所以。所以抛物线的方程为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 在中，角A、B、C所对的边分别为，且 （I）求角C的大小； （II）若的面积，求的值. 参考答案： 19. （本题满分13分）已知函数. （Ⅰ）若求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设，若函数在区间上存在极值点，求的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)若，函数的定义域为，. 则曲线在点处切线的斜率为. 而，则曲线在点处切线的方程为.                                                        ……………3分 （Ⅱ）函数的定义域为，. （1）当时，由,且此时，可得. 令，解得或，函数为减函数； 令，解得，但， 所以当，时，函数也为增函数. 所以函数的单调减区间为，， 单调增区间为，. （2）当时，函数的单调减区间为，. 当时，函数的单调减区间为，. 当时，由，所以函数的单调减区间为，. 即当时，函数的单调减区间为，. （3）当时，此时. 令，解得或，但，所以当，，时，函数为减函数； 令，解得，函数为增函数. 所以函数的单调减区间为，，， 函数的单调增区间为.              …………9分 （Ⅲ）（1）当时，由（Ⅱ）问可知，函数在上为减函数， 所以不存在极值点; （2）当时，由（Ⅱ）可知，在上为增函数，       在上为减函数. 若函数在区间上存在极值点，则， 解得或, 所以. 综上所述，当时，函数在区间上存在极值点.                                                            …………13分 20. 已知函数f（x）=在x=1处取得极值． （1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性； （2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为m≤，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可． 【解答】解：（1）由题意得f′（x）=， 所以f'（1）=1﹣a=0即a=1，∴f′（x）=， 令f'（x）＞0，可得0＜x＜1，令f'（x）＜0，可得x＞1， 所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． （2）由题意要使x∈[1，+∞）时，f（x）≥恒成立， 即m≤，记h（x）=，则m≤[h（x）]min， h′（x）=，又令g（x）=x﹣lnx， 则g′（x）=1﹣，又x≥1，所以g′（x）=1﹣≥0， 所以g（x）在[1，+∞）上单调递增， 即g（x）≥g（1）=1＞0， ∴h′（x）=＞0， 即h（x）在[1，+∞）上单调递增， 所以[h（x）]min=h（1）=2， ∴m≤2． 21. （本题满分12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． （Ⅰ）求z的值； （Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； （Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 参考答案： （1）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得， n/50=10/(100+300)，所以n=2000. z=2000－100－300－150－450－600=400 （2）设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以 ，解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2;B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2 ，B1），（S2 ，B2），（S2 ，B3），（S1，S2），（B1 ，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为 7/10. （3）样本的平均数为9 ， 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，  8.6，   9.2，  8.7，  9.3，  9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为0.75 .   略 22. 已知等比数列{an}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{bn}满足bn=2log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和 （1）求Sn； （2）若对任意n∈N+，都有成立，求正整数k的值． 参考答案： 【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质． 【分析】（1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{an}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{bn}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得Sn； （2）令，通过相邻两项的差比较可得{Cn}的最大值，即可得到结论． 【解答】解：（1）因为a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且