广东省深圳市南山实验学校高三数学文下学期期末试题含解析

广东省深圳市南山实验学校高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若数列满足且是递增数列，那么实数的取值范围是    （    ）    A .          B .              C.             D. . 参考答案： C 2. 设，，，则（     ） （A）      （B）    （C）      （D） 参考答案： D 因为，，又，所以最大。又，所以，即，所以，选D. 3. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. 参考答案： D 略 4. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且g(-2)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（    ） A.          B.   C.      D. 参考答案： D 略 5. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： B 集合中的元素为点集，由题意，可知集合表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点， 则中有个元素． 6. 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为 A. B. C. D. 参考答案： B 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图： 正方体的体积为，半圆柱的体积为，从而其体积为，故选B．   7. 已知等比数列的前项和为，则下列不可能成立的是 A．　　　    　  B． C．　　　 D． 参考答案： A 8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的左边侧面与底面垂直，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 画出其直观图如图，由侧视图等腰三角形的腰长为，求得棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算． 解答： 解：由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的左边侧面与底面垂直，其直观图如图： 且四棱锥的底面是边长为2的正方形， 由侧视图等腰三角形的腰长为，得棱锥的高为=2， ∴几何体的体积V=×22×2=． 故选B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据． 9. 下列说法正确的是(     ) A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” B．若命题p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题?p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0 C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 参考答案： C 【考点】四种命题． 【专题】简易逻辑． 【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假； B，写出命题p的否定￢p； C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性； D，由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立，判定命题是否正确． 【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误； 对于B，命题p的否定￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误； 对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确； 对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误； 故选：C． 【点评】本题通过命题真假的判定，考查了四种命题之间的关系，也考查了一定的逻辑思维能力，是基础题． 10. 若集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件      B．必要不充分条件 C．充分必要条件          D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 求值（+x）dx=　   　． 参考答案： ln2+6 【考点】定积分． 【分析】根据定积分的计算法则计算即可． 【解答】解：（+x）dx=（lnx+）|=ln4+8﹣ln2﹣2=ln2+6． 故答案为：ln2+6． 　 12. 下面给出的四个命题中： ①以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为； ②若，则直线与直线相互垂直； ③命题“，使得”的否定是“，都有”； ④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。 其中是真命题的有___________（将你认为正确的序号都填上）． 参考答案： ①②③. 试题分析：①抛物线是焦点为，圆的半径为，所以圆的方程为，正确； ②当时，两直线方程为和，两直线垂直，所以正确； ③根据特称命题的否定是全称命题可知其正确； ④函数向右平移，得到的函数为，所以不正确. 所以正确的命题有①②③.故应填①②③. 考点：特称命题；命题的否定；函数的图像变换；抛物线的简单性质. 13. 如图，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，有下列四个命题： ①与平面所成角为30°； ②三棱锥与三棱锥的体积比为1:2； ③过点A作平面，使得棱AB，AD，AA1在平面上的正投影的长度相等，则这样的平面有且仅有一个； ④过BD1作正方体的截面，设截面面积为S，则S的最小值为. 上述四个命题中，正确命題的序号为______. 参考答案： ①②④ 【分析】 根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得. 【详解】对①：连接交与，连接，作图如下： 因为是正方体，故可得平面， 又因为平面，故可得，又， 故可得平面，则即为所求线面角. 在中，， 故可得，又线面角的范围为， 故，则与平面所成角为， 故①正确； 对②：因为正方体棱长为1， 故可得； 而棱锥的体积可以理解为 正方体的体积减去4个体积都和相等的三棱锥的体积， 故. 故棱锥与三棱锥的体积比为， 故②正确； 对③：若棱在平面的同侧，则为过点且与平面平行的平面； 若棱中有一条棱与另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个； 故满足题意的平面有4个. 故③错误； 对④：根据题意，取中点为,则过作正方体的截面如下： 则过的所有截面中，当截面为菱形时，面积最小， 其面积为. 故④正确. 总上所述，正确的有①②④. 【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题. 14. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数                           参考答案： ，要使复数是纯虚数，则有且，解得. 15. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）． （1）求关于的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？ 参考答案： 略 16. 在等比数列中，，公比，若，则的值为       ． 参考答案： 7 17. 对于实数,若，则的最大值为          ． 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵，若矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵A. 参考答案： 解：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得， ，即； 得， 由矩阵属于特征值的一个特征向量为， 可得，即； 得， 解得.即，   19. 等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式. 参考答案： 略 20. 已知函数． （Ⅰ）求函数在上的值域； （Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求． 参考答案： 解：(Ⅰ) ， ∵，∴，∴， ∴，即函数在上的值域是[－3，3] ． （Ⅱ）∵对于任意的，不等式恒成立， ∴是的最大值，∴由， 解得∴． 略 21. （14分）已知函数f（x）=x2﹣alnx﹣x（a≠0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若a＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，求证：f′（）＞k． 参考答案： 【考点】： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： （1）先求导，再根据a的值进行分类讨论，得到函数的单调区间． （2）先求导，根据题意，由直线的斜率公式可得k的值，利用分析法证明f′（）＞k．转化为只需要证明，再构造函数g（t），判断函数在（0，1）上单调性，问题得以证明 解：（1） （i）当时，2x2﹣x﹣a≥0 恒成立，即f'（x）≥0恒成立， 故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间． （ii）当时，f′（x）＞0?2x2﹣x﹣a＞0， 解得： ∵x＞0，∴函数f（x）的单增区间为，， 单减区间为． （iii）当a＞0时，由f′（x）＞0解得：． ∵x＞0，而此时＜0，∴函数f（x）的单增区间为， 单减区间为． 综上所述： （i）当a≤﹣时，f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间． （ii）当时，f（x）的单增区间为，， 单减区间为． （iii）当a＞0时，f（x）的单增区间为，单减区间为． （2）证明：∵ ∴ 由题意得， 则：= 注意到， 故欲证， 只须证明：． 因为a＞0，故即证： 令， 则： 故g（t）在（0，1）上单调递增．                                            即：， 即： 所以：． 【点评】： 本题考查导数的应用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数，属于难题． 22. 如图3，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. （1）证明：DC1⊥BC； （2）求二面角A1－BD－C1的大小. 图3 参考答案： 解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形. 由于D为AA1的中点，故DC＝DC1. 又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC， 所以DC1⊥DC. 而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD. BC?平面BCD，故DC1⊥BC. （2）由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直. 以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. 由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2). 则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1). 设n＝(x，y，z)是平面A