上海莘光学校高三数学理上学期期末试卷含解析

上海莘光学校高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的导函数的图像是如图所示的一条直线，与轴交点坐标为，  若，则与的大小关系为 (　　)    A．           B．        C．           D．无法确定 参考答案： A 略 2. 设集合，，则集合等于                （ ▲ ） （A）    （B）  （C） （D） 参考答案： C 3. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（　　） A． B．6π C． D． 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2．的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可． 【解答】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半， 上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半， 所以，半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π， 上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=． 故几何体的体积为V=V1+V2==． 故选C． 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键． 4. 设第一象限内的点满足约束条件， 若目标函数的最大值为40，则的最小值为（    ） （A）  （B）       （C）1       （D）4 参考答案： B 5. 已知函数（其中）的图象如图1所示，则函数的图象是图2中的（   ）          A.              B.                  C.             D.       参考答案： A 6. 向量，，则向量在向量方向上的投影为（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据投影公式，代值计算即可 【解答】解：由定义，向量在向量方向上的投影为=， 故选：A． 【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式． 7. 已知函数，正实数、、满足，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断： ①；②；③；④．其中可能成立的个数为(***). A．1            B．2                 C．3            D．4 参考答案： B 8. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（  ） A．[－3,0]    B．[－3,1]   C．[－3,2]  D．[－∞,1] 参考答案： B 9. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则(     ) A．￢p：?x0∈R，sinx0≥1 B．￢p：?x∈R，sinx≥1 C．￢p：?x0∈R，sinx0＞1 D．￢p：?x∈R，sinx＞1 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑． 【分析】利用“￢p”即可得出． 【解答】解：∵命题p：?x∈R，sinx≤1，∴￢p：?x0∈R，sinx0＞1． 故选：C． 【点评】本题考查了“非命题”的意义，考查了推理能力，属于基础题． 10. 函数的图象关于(　　) A．y轴对称     B．直线y＝－x对称   C．坐标原点对称   D．直线y＝x对称 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列中，，则   参考答案： 略 12. 已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是             ． 参考答案： （0，1） 考点：函数的零点． 专题：数形结合法． 分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解． 解答： 解：函数f（x）==， 得到图象为： 又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点， 知f（x）=m有三个零点， 则实数m的取值范围是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用， 13. 在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线. (I) 给出下列三个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线关于直线对称； ③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； 其中，所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______. 参考答案： ②③; 14. 将函数的图像按向量（）平移，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为           . 参考答案： 由题意知，按平移，得到函数，即，此时函数为偶函数，所以,所以，所以当时，的最小值为。 15. 函数y=sin2x的最小正周期是　  　． 参考答案： π 【考点】三角函数的周期性及其求法． 【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论． 【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π， 故答案为：π． 　 16. 已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为__________． 参考答案： 45 略 17. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为      .   B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝      .   C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为            .   参考答案： A. 由科尔不等式可得 （am+bn）（bm+an）≥（）2mn（a+b）2=2 B. C. x=，y=， 0 ≤＜ A.    略 B.      已知∠BCE=∠PED=∠BAP  ∴PDE∽PEA ∴    而PD=2DA=2  ∴PA=3 PE2=PA·PD=6   故PE= C.    x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）为圆心，为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=，y=，0 ≤a＜2，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0 ≤＜，所以0 ≤2＜2，所以所求圆的参数方程为x=，y=， 0 ≤＜   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数的图象过点，且在处取得极值． (1) 求实数的值； (2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值. 参考答案： （1）当时，，  ……………………………………1分 由题意得：，即，  …………………………………3分 解得：。                             …………………………………5分 （2）由（1）知： ①当时，， 解得；解得或 ∴在和上单减，在上单增， 由得：或，………………………………………6分 ∵　， ∴在上的最大值为. ……………………………………………………8分 ②当时，， 当时，；当时，在单调递增； ∴在上的最大值为。 ……………………………………………………10分 ∴当时，在上的最大值为； ……………………………………11分 当时，在上的最大值为. ……………………………………12分 19. 已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列.数列前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式; (2)若，求正整数的值； （3）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由. 参考答案： 【知识点】等比数列的性质；等差数列的性质． D2   D3 【答案解析】（1）；（2）2；（3）存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项，存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项． 解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则a1=1，a2=2，a3=1+d，a4=2q，a9=1+4d． ∵S5=2a4+a5，∴a1+a2+a3=a4，即4d=2q， 又a9=a3+a4．∴1+4d=1+d=2q．解得：d=2，q=3． ∴对于k∈N*，有． 故； （2）若am=2k，则由amam+1=am+2，得 2?3k﹣1（2k+1）=2?3k，解得：k=1，则m=2； 若am=2k﹣1，则由（2k﹣1）?2?3k﹣1=2k+1， 此时左边为偶数，右边为奇数，不成立． 故满足条件的正数为2； （3）对于k∈N*，有 ． ． 假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项， 又由（1）知，数列中的每一项都为正数，故可设=L（L∈N*）， 则，变形得到：（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1）①． ∵m≥1，L≥1，3m﹣1＞0，∴L≤3．又L∈N*，故L可能取1，2，3． 当L=1时，（3﹣L）3m﹣1＞0，（L﹣1）（m2﹣1）=0，∴①不成立； 当L=2时，（3﹣2）3m﹣1=（2﹣1）（m2﹣1），即3m﹣1=m2﹣1． 若m=1，3m﹣1≠m2﹣1，令， 则 = ．因此，1=T2＞T3＞…，故只有T2=1，此时m=2，L=2=a2． 当L=3时，（3﹣3）3m﹣1=（3﹣1）（m2﹣1）．∴m=1，L=3=a3． 综上，存在正整数m=1，使得恰好为数列{an}中的第三项， 存在正整数m=2，使得恰好为数列{an}中的第二项． 【思路点拨】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比，则等差数列和等比数列的通项公式即可得出； （2）分am=2k和am=2k﹣1，利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值； （3）对于k∈N*，有． ．假设存在正整数m，使得恰好为数列{an}中的一项，设=L（L∈N*），则，变形得到（3﹣L）3m﹣1=（L﹣1）（m2﹣1），由此式得到L的可能取值，然后依次分类讨论求解． 20. （本小题满分12分）某学校高二年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生. （1）完成下面的列联表；   不喜欢运动 喜欢运动 合计 女生 50     男生       合计   100 200 （2）在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段和的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.   参考答案： 1）根据分层抽样的定义，知抽取男生130人，女生70人，   不喜欢运动 喜欢运动 合计 女生 50 20 70 男生 50 80 130 合计 100 100 200 （2）由直方图知在内的人数为4人，设为. 在的人数为2人，设为. 从这6人中任选2人有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd共15种情况 若时，有共六种情况． 若时，有一种情况． 事件A:“她们在同一区间段”所包含的基本事件