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2022-2023学年江苏省常州市市第二十四高级中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (4-4:坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程为(为参数),直线与圆相交于A,B两点,则线段AB的中点坐标为( )
A.(3,-3) B. C. D.
参考答案:
C
直线(t为参数),即,
代入圆化简可得,
,即AB的中点的纵坐标为3,
的中点的横坐标为,
故AB的中点的坐标为,故选C.
2. 已知直线过点和点,则直线的斜率的最大值为
. . . .
参考答案:
.
数形结合法:设,则点是圆上的动点,
过点,的直线的斜率的最大值为直线与圆相切时的斜率的最大值;
设切线方程为即,则圆心到直线的圆距离为;
即或舍去;故选.
3. 已知函数f(x)=x2﹣4x+3,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)|f(x)﹣f(y)≥0},则集合M∩N面积为( )
A. B. C.π D.
参考答案:
C
【考点】定积分.
【分析】先分析M,N所表示的平面区域,并在平面直角坐标系中用图形表示出来,最后结合平面几何的知识解决问
【解答】解:因为f(x)=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,f(y)=(y﹣2)2﹣1,
则f(x)+f(y)=(x﹣2)2+(y﹣2)2﹣2,f(x)﹣f(y)=(x﹣2)2﹣(y﹣2)2.
∴M={(x,y)=(x﹣2)2+(y﹣2)2≤2},
N={(x,y)||y﹣2|≤|x﹣2|}.
故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形,
其面积为圆面积的一半,即为π.
故选:C.
4. 函数的单调递增区间是( )
A. B.(2,+∞) C. D.
参考答案:
D
5. 数列的前项和为,若,则等于( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE(A′?平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,有下列说法,不正确的是( )
A.平面A′FG⊥平面ABC
B.BC∥平面A′DE
C.三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为
D.直线DF与直线A′E有可能异面
参考答案:
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】在A中,推导出DE⊥GA′,DE⊥GF,从而面A′FG⊥面ABC;在B中,由BC∥DE,得BC∥平面A′DE;在C中,当面A′DE⊥面ABC 时,三棱锥A′﹣DEF 的体积取最大值a3;在D中,在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面.
【解答】解:在A中,由已知可得四边形ABCD 是菱形,
则DE⊥GA′,DE⊥GF,
∴DE⊥平面A′FG,∴面A′FG⊥面ABC,在A正确;
在B中,∵BC∥DE,∴BC∥平面A′DE,故B正确;
在C中,当面A′DE⊥面ABC 时,三棱锥A′﹣DEF 的体积达到最大,
最大值为××a2×a=a3,故C正确;
在D中,在旋转过程中DF 与直线A′E 始终异面,故D不正确.
故选:D.
【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
7. 若a∈(0,),且sin2a+cos2a=,则tana的值等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知数列{an}满足递推关系:,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
对递推关系式取倒数,可证得数列是以2为首项,1为公差的等差数列;利用等差数列通项公式可求得,进而得到结果.
【详解】由得:,即
又,则
数列是以2为首项,1为公差的等差数列
本题正确选项:
【点睛】本题考查倒数法求解数列通项公式的问题,关键是能够通过取倒数的方式能够得到等差数列,从而利用等差数列的知识来进行求解.
9. 如图,平行四边形ABCD中,,
点M在AB边上,且等于( ).
(A) (B)1 (C) (D)
参考答案:
B
略
10. 在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( )
A. 和 B. 和
C.和 D. 和
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若曲线与直线始终有交点,则的取值范围是___________;若有一个交点,则的取值范围是________;若有两个交点,则的取值范围是_______;
参考答案:
,;曲线代表半圆
12. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:
①设为两个定点,为非零常数,,则动点的轨迹为双曲线;
②已知圆上一定点和一动点,为坐标原点,若则动点的轨迹为圆;
③,则双曲线与的离心率相同;
④已知两定点和一动点,若,则点的轨迹关于原点对称.
其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).
参考答案:
13. 代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复,因原式是一个固定值,可以用如下方法求得:令原式=t,则1+=t,则t2﹣t﹣1=0,取正值得t=,用类似方法可得= .
参考答案:
3
【考点】类比推理.
【分析】通过已知得到求值方法:先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根),再运用该方法,注意两边平方,得到方程,解出方程舍去负的即可.
【解答】解:由已知代数式的求值方法:先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根),
可得要求的式子.
令=m(m>0),
则两边平方得,6+═m2,
即6+m=m2,解得,m=3(﹣2舍去).
故答案为:3.
14. 已知正四棱锥V-ABCD的棱长都等于a,侧棱VB、VD的中点分别为H和K,若过A、H、K三点的平面交侧棱VC于L,则四边形AHLK的面积为_______________.
参考答案:
15. 大小、形状相同的白、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取2次,则摸取的2个球均为白色球的概率是_______.
参考答案:
略
16. 转化为十进制为___________,转化为二进制为___________。
参考答案:
78, 1001110
17. 在1与2之间插入10个数使这12个数成等差数列,则中间10个数之和为__▲________.
参考答案:
15
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知向量,
(1)求的最大值和最小值;
(2)若,求k的取值范围。
参考答案:
(1)
(2)由
19. 如图:已知直线与抛物线交于两点,且,交于点,点的坐标为.
(1) 求的值;
(2) 求的面积.
参考答案:
解(1) 又
直线的方程为.
设,,则由
又
联立方程 消可得 ①
,
当时,方程①成为 显然此方程有解.
(2)法一:由 .
.
法二:
后面做法同法一.
略
20. (本小题满分14分)
如图,为抛物线的焦点,为抛物线内一定点,为抛物线上一动点,且的最小值为.
(1)求该抛物线的方程;
(2)如果过的直线交抛物线于、两点,且,求直线的倾斜角的取值范围.
参考答案:
解:(1)设,根据抛物线定义知:
故,,
抛物线方程为: ……………6分
(2)①当直线轴时:方程:
此时, 与 矛盾; ……………8分
21. 已知数列的前项和为,且,设.
(Ⅰ)证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅲ)设,,若数列的前项和为,求不超过的最大的整数值.
参考答案:
22解:(Ⅰ)因为,所以
①当时,,则,……………………1分
②当时,,
所以,即,
所以,而,……………………3分
所以数列是首项为,公比为的等比数列.……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以,.……………6分
所以 ①,
②,
②-①得:,
.………………8分
(Ⅲ)由(1)知
,………10分
所以
故 不超过的最大整数为.…………………………12分
略
22. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2。E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB=BF=1。求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。
参考答案:
解:延长BA至点E1,使AE1=1,连结E1F、DE1、D1E1、DF,有D1C1//E1E, D1C1=E1E,则四边形D1E1EC1是平行四边形。则E1D1//EC1.于是∠E1D1F为直线与所成的角。
在Rt△BE1F中,.
在Rt△D1DE1中,
在Rt△D1DF中,
在△E1FD1中,由余弦定理得:
∴直线与所成的角的余弦值为.
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