2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县高作中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年江苏省徐州市睢宁县高作中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数，则为(    ) A．         B．1       C.          D． 参考答案： C 由题得， 所以故答案为：C   2. 集合，，则 A．         B．      C．  D． 参考答案： A 3. 抛物线的焦点坐标为(   ) A．         B．          C．            D． 参考答案： C 4. 高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、、、、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为          A．                   B．            C．                             D． 参考答案： A 本题主要考查球的性质、棱锥的性质、平面间的距离等基础知识，以及考查转化的思想、构造的思想，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、图形的变换能力、创新解决问题的能力．难度较大． 如图所示，设球心为O，正方形的中心为O1，则OB＝1，O1B＝BD＝，所以点O到平面ABCD的距离OO1＝＝， 因为四棱锥S－ABCD的底面的高为，可以想到四棱锥的顶点S是与平面ABCD平行且距离为的一个小圆的圆周上，同时这两个小圆面与球心的距离均相等，因此它们是等圆周，故可取一个特殊点来解答，即过B作平面ABCD的垂线，与大圆的交点为S，则SO就是所求．易知SB＝，则SO＝＝＝． 5. 若集合，函数的定义域为，则  (   ) A.     B.     C.      D. 参考答案： A 略 6. 抛物线上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则△MFO的面积为 （A）          （B）       （C）           （D） 参考答案： B 【知识点】抛物线的几何性质． 解析：设M（a,b）,有抛物线的定义可知：点M到准线的距离为，所以a=1，代入抛物线方程，解得，所以S△MFO=，故选：B． 【思路点拨】设M（a,b）,有抛物线的定义可知a=1，代入抛物线方程，解得，然后利用三角形面积公式即可．   7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，另一个侧面为等腰三角形，求出各个侧面面积即可得到表面积． 【解答】解：由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为4，两个侧面是全等的三角形，三边分别为2，2，4，面积之和为4，另一个侧面为等腰三角形，面积是×4×4=8， 故选B． 8. （多选题）已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为45 参考答案： BCD 【分析】 由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可. 【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知, 又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以, 所以二项式为, 则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误； 由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确； 若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确； 由通项可得,解得,所以系数为,故D正确, 故选: BCD 【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力. 9. 已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为（   ）    A.1        B.2       C.0      D.0或 2 参考答案： C 略 10. 设全集，集合，集合，则（　　） A． B． C． D．{2，3，4} 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线（>0，>0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为____________. 参考答案： 略 12. 展开式中，形如的项称为同序项，形如的项称为次序项，如q是一个同序项，是一个次序项。从展开式中任取两项，恰有一个同序项和一个次序项的概率为    。 参考答案： 13. 若向量满足，则x=　  　． 参考答案： 1 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值． 【解答】解：∵， ∴，又，且， ∴x﹣1=0，即x=1． 故答案为：1． 14. 在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则+的最大值是　　． 参考答案： 【考点】三角形中的几何计算． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积为bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底与高乘积的一半表示三角形ABC的面积，两者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，变形后，将表示出的sinA代入，得到2cosA+sinA，利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的值域求出最大值． 【解答】解：∵BC边上的高AD=BC=a， ∴S△ABC=， ∴sinA=，又cosA==， ∴=2cosA+sinA（cosA+sinA）=sin（α+A）≤，（其中sinα，cosα=）， ∴的最大值． 故答案为： 【点评】本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 15. 若         . 参考答案： 答案：2 解析：     16. 对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为          参考答案： 略 17. 设，则的值为 . 参考答案： 2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知． （1）若函数的最小值为3，求实数a的值； （2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值． 参考答案： （1）6（2）2 【分析】 （1）将f(x)和f(2x)代入F(x)，去绝对值得出分段函数，找出取得最小值的点，即可求出a；（2）将a=2代入函数，由绝对值不等式可得k的值，再根据均值不等式可求得的最小值。 【详解】解：（1），，函数 当时，函数的最小值为，． （2）当时，， ，，所以 因为， 所以当，即，时，最小值为2 【点睛】本题考查分段函数，绝对值不等式和均值不等式（a>0，b>0），是常见题型。 19. 某教学研究机构准备举行一次使用北师大数学教材研讨会，共邀请50名一线教师参加，各校邀请教师人数如下表所示： 学校 A B C D 人数 20 15 5 10 （Ⅰ）从50名教师中随机选出2名，求2人来自同一学校的概率； （Ⅱ）若会上从A，B两校随机选出2名教师发言，设来自A校的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 参考答案： （I）从50名教师随机选出2名的方法数为  ……3分 选出2人来自同一校的方法数为 故2人来自同一校的概率为：                            ……6分 （II）∵，， ．……9分 0 1 2 P ∴的分布列为 ……10分 ∴．                    ……12分 20. 选修4﹣4：坐标系与参数方程 已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）． （1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系； （2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差． 参考答案： 考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）把点P的极坐标化为直角坐标，把直线l的参数方程化为直角坐标方程，根据点P的坐标不满足直线l的方程，可得点P不在直线l上． （2）把曲线C的方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d的值，根据点Q到直线l的距离的最小值为d﹣r，最大值为d+r，从而求得点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差． 解答： 解：（1）把点P的极坐标为（4，）化为直角坐标为（2，2）， 把直线l的参数方程 （t为参数），化为直角坐标方程为 y=x+1， 由于点P的坐标不满足直线l的方程，故点P不在直线l上． （2）∵点Q是曲线C上的一个动点，曲线C的参数方程为（θ为参数）． 把曲线C的方程化为直角坐标方程为 （x﹣2）2+y2=1，表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的圆． 圆心到直线的距离d==+， 故点Q到直线l的距离的最小值为d﹣r=﹣，最大值为d+r=+， ∴点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2． 点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 21. （13分） 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1. （Ⅰ）求证：∥ 平面； （Ⅱ）求三棱锥A-A1CB的体积； （Ⅲ）求二面角A1-CB-A的正切值.       参考答案：  解析：方法1：    （Ⅰ）解： 在三棱柱中C1B1∥CB，平面且平面 则∥ 平面.……3分 （Ⅱ）解：因为==×1×(1×1×sin120°)=.…………6分 （Ⅲ）解: 在平面ABC内过点A向BC做垂线AD， 交BC延长线于点D，连结A1D. 因为A1A⊥平面ABC， 所以A1D⊥BD. 所以∠A1DA是二面角A1-CB-A的平面角. 容易求出AD=， 所以tan∠A1DA===. 即二面角A1-CB-A的正切值是………………………………………………13分 方法2： 如图建立空间直角坐标系， 则有A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(-，，0)， B1(-，，1)，C1(0，0，1).   （Ⅰ）略. （Ⅱ）略. （Ⅲ）解： 显然n1=(0，0，1)是平面ABC的一个法向量. 设n2=(x，y，z)是平面A1BC的法向量， 则n2·=0，且n2·=0. 即x+z=0，且-x+y=0. 解得平面A1BC的一个法向量是n2=(1，，-1). 因为n1·n2=-1，| n1|=1，| n2|=， 设二面角A1-CB-A的大小为β， 则cos(π-β)= -= -.所以cosβ=. 所以tanβ=.……………………………………13分 22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90° （1）若PB=，求PA； （2）若∠APB