上海新加坡国际学校2022年高一数学文下学期期末试卷含解析

上海新加坡国际学校2022年高一数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（　　） A．0° B．45° C．60° D．90° 参考答案： D 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法． 【解答】解：去AA1的中点E，连接EN，BE角B1M于点O， 则EN∥BC，且EN=BC ∴四边形BCNE是平行四边形 ∴BE∥CN ∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角， 而Rt△BB1M≌Rt△ABE ∴∠ABE=∠BB1M，∠BMB1=∠AEB， ∴∠BOM=90°． 故选D． 2. 设全集，集合，则(         ) A．                     B．               C．                         D． 参考答案： A 略 3. 已知定义在R上的函数在(－∞,－2)上是减函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是（      ） A．(－∞,－4]∪[－2,+∞)   B．[－4,－2]∪[0,+∞)     C. (－∞,－2]∪[2,+∞)      D．(－∞,－4]∪[0,+∞) 参考答案： A 由 是把函数f(x)向右平移个单位得到的，所以函数f(x)的图象关于 对称，如图，且 ， ， ，结合函数的图象可知，当 或 时，综上所述， 的解集是 ，故选A.   4. 若，，与的夹角为，则（   ） A.2           B．1         C．2  D．4 参考答案： B 5. 如图，用向量，表示向量为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 由图可知，，所以向量，故选C. 6. 设，，，则（    ） Ａ．       Ｂ．      Ｃ．      Ｄ． 参考答案： A 7. 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′，是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（　　） A． a 2 B． a 2 C． a 2 D． a 2 参考答案： C 【考点】LB：平面图形的直观图． 【分析】根据斜二测画法原理作出△ABC的平面图，求出三角形的高即可得出三角形的面积． 【解答】解：如图（1）所示的三角形A′B′C′为直观图， 取B′C′所在的直线为x′轴，B′C′的中点为O′，且过O′与x′轴成45°的直线为y′轴， 过A′点作M′A′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在直角三角形A′M′O′中，O′A′=a，∠A′M′O′=45°， ∴M′O′=O′A′=a，∴A′M′=a． 在xOy坐标平面内，在x轴上取点B和C，使OB=OC=， 又取OM=a，过点M作x轴的垂线，且在该直线上截取MA=a，连结AB，AC， 则△ABC为直观图所对应的平面图形． 显然，S △ABC=BC?MA=a?a=a 2． 故选：C． 【点评】本题考查了平面图形的直观图，斜二测画法原理，属于中档题． 8. 已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，过直线x﹣y﹣6=0上的一点M作圆C的切线，切点为N，则|MN|的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D．3 参考答案： B 【考点】圆的切线方程． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出C（1，1）到直线x﹣y﹣6=0的距离d，可得|MN|的最小值． 【解答】解：圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，圆心坐标为（1，1），半径为2． 要使|MN|最小，需圆心C（1，1）到直线x﹣y﹣6=0的M的距离最小， 而CM的最小值即圆心C（1，1）到直线x﹣y﹣6=0的距离d==3， 故|MN|的最小值为=， 故选：B． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 9. 已知函数，的图象与直 线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（  ）  A．         B.   C.            D. 参考答案： C 10. 在中，若，则的形状是 A、直角三角形    B、等边三角形   C、等腰三角形     D、不能确定 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知sinα=﹣，α为第三象限角，则等于　　． 参考答案： ﹣ 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα，将所求化简可得，代入即可求值． 【解答】解：∵sinα=﹣，α为第三象限角， ∴cosα=﹣=﹣ ∴====﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查． 12. 设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是            参考答案： 略 13. 下面有五个命题： ①终边在y轴上的角的集合是 | ； ②函数是奇函数； ③的图象向右平移个单位长度可以得到的图象; ④函数的图象关于y轴对称; 其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号） 参考答案： ②③ 略 14. 函数f(x)=3ax-2a+1 在区间（-1,1）上存在一个零点，求a的取值范围 参考答案： 或 15. 计算=             ； 参考答案： 16. △ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________ 参考答案： 18 略 17. 若tanα=2，则=　　；sinα?cosα=　　． 参考答案： 2， 【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 【解答】解：∵tanα=2，则==tanα=2， sinα?cosα===， 故答案为：2；． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角大小；（2）若，判断的形状 （1） 参考答案： （2）   略 19. 已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}， （1）若A∩B=?，求实数a的范围； （2）若A?B，求实数a的范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；转化思想；综合法；集合． 【分析】由已知可得集合中端点之间的不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）由已知，∵A∩B=?， ∴，解得﹣1＜a＜0； （2）∵A?B，∴a+3≤﹣1或a≥3， ∴a≤﹣4或a≥3． 【点评】本题考查了集合的交集运算，以及由集合运算的性质求满足条件的参数范围，一般结合数轴数形结合解之． 20. （14分）设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），． （1）求f（1）的值； （2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值； （3）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围． 参考答案： 考点： 抽象函数及其应用． 专题： 综合题；新定义；转化思想． 分析： （1）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y），令x=y=1，即可求得f（1）的值； （2）根据题意，，令x=y=，f（xy）=f（x）+f（y）=2；有可求得m的值； （3）f（x）+f（2﹣x）=f，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果． 解答： （1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0 （2）∵， ∴ ∴m= （3）∴f（x）+f（2﹣x）=f＜， 又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：解之得：． 点评： 考查函数的单调性，及根据函数的单调性转化不等式，求抽象函数的有关命题，常采用赋值法求解，体现了转化的思想方法，属中档题． 21. (本小题满分10分)如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，  D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T （不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT． （I）求证：； （II） 若，试求的大小． 参考答案： （1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定 理，，得 ，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=， 则，， 所以------------------5分 （2）由（1）可知，，且， 故∽，所以； 根据圆周角定理得，，则  --------10分 22. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2． （1）证明：平面ABD⊥平面BCD； （2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角． 参考答案： 【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出AD⊥CD，AD⊥BD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面BCD． （2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∠AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角． 【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高， ∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD， 又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD， ∵AD?平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BCD． 解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD， ∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角， 连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3， 在Rt△ADF中，AF==， 在△BCD中，由题设知∠BDC=60°， 则BC2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos60°=28，∴BC=2， ∴BE=，∴cos， 在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD?BE?cos∠CBD=13， 在Rt△ADE中，cos∠AEF===， ∴∠AEF=60°，' ∴异面直线AE与BD所成的角为60°．